La Spécialité Maths en Première

L'essentiel pour réussir ses devoirs

Fonction valeur absolue

Un conseil: revoir le cours sur la valeur absolue de la classe de seconde!

Définition

Soit $x$ un nombre réel. La valeur absolue de $x$, notée $|x|$, est la distance entre $x$ et $0$.
Ainsi, si si $x≤0$, alors $|x|=-x$, et si $x≥0$, alors $|x|=x$.

Exemple

$|4,2|=4,2$        $|-1,72|=1,72$        $|0|=0$

Propriété

Soit $r$ un nombre réel positif.
$|x|=r$ $⇔$ $x=r$ ou $x=-r$.

Exemple

Résoudre l'équation (1):   $|3x+2|=10$

Solution...
Corrigé

Dans cette équation, le domaine d'étude est $ℝ$.
(1) $⇔$ $|3x+2|=10$ $⇔$ $3x+2=10$ ou $3x+2=-10$

Soit: (1) $⇔$ $x={10-2}/{3}={8}/{3}$ ou $x={-10-2}/{3}=-4$
Donc $\S=\{-4; {8}/{3}\}$

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Propriété

Pour tout $x$ réel, on a: $√{x^2}=$|$x$|

Exemple

En vous plaçant sur des intervalles convenables, écrire, en n'utilisant ni racine carrée, ni de valeur absolue, l'expression:   $√{(x-2)^2}$

Solution...
Corrigé

On a: $√{(x-2)^2}=$|$x-2$|.
On cherche le signe de $x-2$.
C'est une fonction affine, qui s'annule pour $x=2$. Comme son coefficient directeur $1$ est strictement positif, elle est strictement négative pour $x<2$, et strictement positive pour $x>2$.

Donc: sur $]-\∞;2]$, on a: $√{(x-2)^2}=-(x-2)=-x+2$.

Sur $[2;+\∞[$, on a: $√{(x-2)^2}=x-2$.

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Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est la fonction $f$ dédinie, pour tout $x$ réel, par: $f(x)=|x|$.
En particulier, si $x≤0$, alors $f(x)=-x$, et si $x≥0$, alors $f(x)=x$.

La fonction valeur absolue est représentée par 2 demi-droites issues de l'origine.
représentation de la fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est dérivable partout, sauf en 0.
Si $x$<$0$, alors $f'(x)=-1$, et si $x$>$0$, alors $f'(x)=1$.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=|x|$.
En revenant à la définition, montrer que $f'(0)$ n'existe pas.

Solution...
Corrigé

On rappelle que, s'il existe, alors:   $f'(0)= \lim↙{h→0}r(h)$,   où: $r(h)={f(0+h)-f(0)}/{h}$ pour $h$ non nul.
Or, pour $h$<$0$, on a: $r(h)={-(0+h)-0}/{h}={-0-h-0}/{h}={-h}/{h}=-1$.
Et par là: $\lim↙{h→0^-}r(h)=-1$.
De même, pour $h$>$0$, on a: $r(h)={(0+h)-0}/{h}={0+h-0}/{h}={h}/{h}=1$.
Et par là: $\lim↙{h→0^+}r(h)=1$.
Et comme une limite est unique, on en déduit que $\lim↙{h→0}r(h)$ n'existe pas, et par là, $f'(0)$ n'existe pas.

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