La Spécialité Maths en Première

Corrigé

Dans cette équation, le domaine d'étude est $\mathit{ℝ}$.
(1) $\iff$ $\left|3\mathit{x}+2\right|=10$ $\iff$ $3\mathit{x}+2=10$ ou $3\mathit{x}+2=-10$

Soit: (1) $\iff$ $\mathit{x}=\frac{10-2}{3}=\frac{8}{3}$ ou $\mathit{x}=\frac{-10-2}{3}=-4$
Donc $\mathrm{S}=\left\{-4;\frac{8}{3}\right\}$

Corrigé

On a: $\sqrt{{\left(\mathit{x}-2\right)}^2}=$|$\mathit{x}-2$|.
On cherche le signe de $\mathit{x}-2$.
C'est une fonction affine, qui s'annule pour $\mathit{x}=2$. Comme son coefficient directeur $1$ est strictement positif, elle est strictement négative pour , et strictement positive pour $\mathit{x}>2$.

Donc: sur $]-\mathrm{\infty };2]$, on a: $\sqrt{{\left(\mathit{x}-2\right)}^2}=-\left(\mathit{x}-2\right)=-\mathit{x}+2$.

Sur $[2;+\mathrm{\infty }[$, on a: $\sqrt{{\left(\mathit{x}-2\right)}^2}=\mathit{x}-2$.

Corrigé

On rappelle que, s'il existe, alors:   $\mathit{f}\prime \left(0\right)=\underset{\mathit{h}\to 0}{\lim }\mathit{r}\left(\mathit{h}\right)$,   où: $\mathit{r}\left(\mathit{h}\right)=\frac{\mathit{f}\left(0+\mathit{h}\right)-\mathit{f}\left(0\right)}{\mathit{h}}$ pour $\mathit{h}$ non nul.
Or, pour $\mathit{h}$<$0$, on a: $\mathit{r}\left(\mathit{h}\right)=\frac{-\left(0+\mathit{h}\right)-0}{\mathit{h}}=\frac{-0-\mathit{h}-0}{\mathit{h}}=\frac{-\mathit{h}}{\mathit{h}}=-1$.
Et par là: $\underset{\mathit{h}\to 0-}{\lim }\mathit{r}\left(\mathit{h}\right)=-1$.
De même, pour $\mathit{h}$>$0$, on a: $\mathit{r}\left(\mathit{h}\right)=\frac{\left(0+\mathit{h}\right)-0}{\mathit{h}}=\frac{0+\mathit{h}-0}{\mathit{h}}=\frac{\mathit{h}}{\mathit{h}}=1$.
Et par là: $\underset{\mathit{h}\to 0+}{\lim }\mathit{r}\left(\mathit{h}\right)=1$.
Et comme une limite est unique, on en déduit que $\underset{\mathit{h}\to 0}{\lim }\mathit{r}\left(\mathit{h}\right)$ n'existe pas, et par là, $\mathit{f}\prime \left(0\right)$ n'existe pas.