La Spécialité Maths en Première

L'essentiel pour réussir ses devoirs

Trinômes du second degré

Exercice 1

A savoir: les méthodes pour résoudre une équation.
Revoir par exemple cet exercice de seconde.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x)=-6x^2-x+1$.
    Quelle est la nature de $f$?
    Montrer que $f$ admet pour forme canonique $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$
    Résoudre l'équation $f(x)={25}/{24}$
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x)=x^2-14x+49$.
    Quelle est la nature de $f$?
    Ecrire $f(x)$ sous forme canonique.
    Résoudre l'équation $f(x)=0$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x)=x^2-10x+3$.
    Quelle est la nature de $f$?
    Ecrire $f(x)$ sous forme canonique.
    En déduire l'extremum de $f$ et donner l'abscisse pour laquelle il est atteint.

Solution...
Corrigé

Un trinôme du second degré s'écrit sous forme développée réduite    $ax^2+bx+c$    avec $a≠0$.

  1. $f(x)=-6x^2-x+1$.
    $f$ est un trinôme du second degré avec $a=-6$, $b=-1$ et $c=1$.

    Pour écrire un trinôme    $ax^2+bx+c$   sous forme canonique, il suffit de le présenter sous la forme     $a(x-α)^2+ β$
    La forme proposée est convenable (avec $α=-{1}/{12}$ et $β={25}/{24}$).
    On veut donc montrer que $f(x)=-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$
    Pour démontrer une égalité, on évite de partir de l'égalité à prouver (sauf si l'on sait parfaitement raisonner par équivalences).
    Il suffit en général d'utiliser l'une des 3 méthodes suivantes:
    1.   montrer que l'un des 2 membres est égal à l'autre
    2.   montrer que chacun des membres est égal à une même expression.
    3.   montrer que la différence des 2 membres vaut 0.

    On développe le second membre.
    On obtient: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6(x^2+2×x×{1}/{12}+({1}/{12})^2)+{25}/{24}$
    Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6(x^2+{2}/{12}×x+{1^2}/{12^2})+{25}/{24}$
    Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6×x^2-6×{2}/{12}×x-6×{1}/{144}+{25}/{24}$
    Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6x^2-{12}/{12}×x-{6}/{144}+{25}/{24}$
    Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6x^2-x-{1}/{24}+{25}/{24}$
    Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6x^2-x+{24}/{24}=-6x^2-x+1$
    Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=f(x)$.
    Donc $f$ admet bien pour forme canonique $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$

    Seconde méthode: pour les experts en calcul, il est possible de trouver la forme canonique par la méthode de complétion du carré:
    $f(x)=-6x^2-x+1=-6(x^2+{1}/{6}x-{1}/{6})$
    $f(x)=-6(x^2+2×{1}/{12}x+({1}/{12})^2-({1}/{12})^2-{1}/{6})$
    $f(x)=-6((x+{1}/{12})^2-{1}/{144}-{1}/{6})$
    $f(x)=-6((x+{1}/{12})^2-{25}/{144})$ (première forme canonique)
    $f(x)=-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$ (seconde forme canonique)

    Une troisième méthode (qui n'est pas dans l'esprit du programme en début d'année) consiste à utiliser le fait que $α={-b}/{2a}$ et que $β=f(α)$.
    Donc: $α={-b}/{2a}={1}/{-12}=-{1}/{12}$.
    Et: $β=f(α)=f(-{1}/{12})={150}/{144}={25}/{24}$.
    D'où la forme canonique: $f(x)=-6(x-(-{1}/{12}))^2+{25}/{24}=-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$

    Résolvons l'équation $f(x)={25}/{24}$
    Comme ${25}/{24}$ apparait dans la forme canonique, on utilise cette écriture.
    $f(x)={25}/{24}$ $ ⇔ $ $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}={25}/{24}$ $ ⇔ $ $-6(x+{1}/{12})^2=0$
    Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
    On obtient: $f(x)={25}/{24}$ $ ⇔ $ $-6=0$ (ce qui est impossible) ou $(x+{1}/{12})^2=0$
    Le carré d'un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul.
    On obtient: $f(x)={25}/{24}$ $ ⇔ $ $ x+{1}/{12}=0$
    Soit: $f(x)={25}/{24}$ $ ⇔ $ $ x=-{1}/{12}$
    Donc S$=\{-{1}/{12}\}$

  2. $f(x)=x^2-14x+49$.
    $f$ est un trinôme du second degré avec $a=1$, $b=-14$ et $c=49$.

    Un trinôme     $ax^2+bx+c$    admet pour forme canonique     $a(x-α)^2+ β$
    La forme canonique était ici évidente en utilisant l'identité remarquable $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    On obtient: $f(x)=x^2-2×x×7+7^2=(x-7)^2$
    On reconnait une écriture canonique $1(x-7)^2+0$

    Une autre méthode (qui n'est pas dans l'esprit du programme en début d'année) consiste à utiliser le fait que $α={-b}/{2a}$ et que $β=f(α)$.
    On obtient: $α={-b}/{2a}={14}/{2}=7$.
    Et: $β=f(α)=f(7)=0$.
    D'où la forme canonique: $f(x)=1(x-7)^2+0=(x-7)^2$
    On notera que la forme canonique est ici égale à la forme factorisée!

    Résolvons l'équation $f(x)=0$
    On obtient: $f(x)=0$ $ ⇔ $ $(x-7)^2=0$
    Le carré d'un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul.
    On obtient: $f(x)=0$ $ ⇔ $ $ x-7=0$
    Soit: $f(x)=0$ $ ⇔ $ $ x=7$
    Donc S$=\{7\}$

  3. $f(x)=x^2-10x+3$.
    $f$ est un trinôme du second degré avec $a=1$, $b=-10$ et $c=3$.

    Un trinôme     $ax^2+bx+c$    admet pour forme canonique     $a(x-α)^2+ β$
    Nous cherchons la forme canonique par la méthode de complétion du carré.
    On obtient: $f(x)=x^2-10x+3=x^2-2×5×x+3$.
    Soit: $f(x)=x^2-2×5×x+5^5-5^2+3=(x-5)^2-25+3$.
    Soit: $f(x)=(x-5)^2-22$.
    On reconnait une écriture canonique $1(x-5)^2+(-22)$

    A retenir: le minimum d'une fonction, s'il existe, est la plus petite de ses images.
    Montrons que $-22$ est le minimum de $f$ et qu'il est atteint pour $x=5$.
    Il suffit de montrer que, pour tout $x$, $f(x)≥f(5)$.

    On commence par calculer: $f(5)=(5-5)^2-22=-22$.
    Il suffit donc de montrer que: pour tout nombre réel $x$, $f(x)≥-22$.
    Or on a: $(x-5)^2≥0$ (car le membre de gauche est un carré).
    Et donc: $(x-5)^2-22≥0-22$.
    Et par là: pour tout nombre réel $x$, $f(x)≥-22$.
    Donc, finalement, $m$ admet $-22$ comme minimum, et ce minimum est atteint pour $x=5$.
    On peut aussi savoir que, si $a$>$0$, alors le trinôme $a(x-α)^2+ β$ admet pour minimum $β$, et ce minimum est atteint en $α$.
    Mais ce résultat n'est pas dans l'esprit du programme en début d'année...

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