La Spécialité Maths en Première

Corrigé

Un trinôme du second degré s'écrit sous forme développée réduite    $ax^2+bx+c$    avec $a≠0$.

1. a. $f(x)=-6x^2-x+1$.
   $f$ est un trinôme du second degré avec $a=-6$, $b=-1$ et $c=1$.
   
   b. Pour écrire un trinôme    $ax^2+bx+c$   sous forme canonique, il suffit de le présenter sous la forme     $a(x-α)^2+ β$
   Première méthode
   La forme proposée est convenable (avec $α=-{1}/{12}$ et $β={25}/{24}$).
   On veut donc montrer l'égalité $f(x)=-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$
   Pour démontrer une égalité, on évite de partir de l'égalité à prouver (sauf si l'on sait parfaitement raisonner par équivalences).
   Il suffit en général d'utiliser l'une des 3 méthodes suivantes:
   1.   montrer que l'un des 2 membres est égal à l'autre
   2.   montrer que chacun des membres est égal à une même expression.
   3.   montrer que la différence des 2 membres vaut 0.
   Ici, on utilise la méthode 1.
   On développe le second membre.
   On obtient: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6(x^2+2×x×{1}/{12}+({1}/{12})^2)+{25}/{24}$
   Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6(x^2+{2}/{12}×x+{1^2}/{12^2})+{25}/{24}$
   Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6×x^2-6×{2}/{12}×x-6×{1}/{144}+{25}/{24}$
   Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6x^2-{12}/{12}×x-{6}/{144}+{25}/{24}$
   Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6x^2-x-{1}/{24}+{25}/{24}$
   Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=-6x^2-x+{24}/{24}=-6x^2-x+1$
   Soit: $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}=f(x)$.
   Donc $f$ admet bien pour forme canonique $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$
   
   Seconde méthode: pour les experts en calcul, il est possible de trouver la forme canonique par la méthode de complétion du carré:
   $f(x)=-6x^2-x+1=-6(x^2+{1}/{6}x-{1}/{6})$
   $f(x)=-6(x^2+2×{1}/{12}x+({1}/{12})^2-({1}/{12})^2-{1}/{6})$
   $f(x)=-6((x+{1}/{12})^2-{1}/{144}-{1}/{6})$
   $f(x)=-6((x+{1}/{12})^2-{25}/{144})$
   $f(x)=-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$ (c'est l'écriture sous forme canonique demandée)
   
   Une troisième méthode consiste à utiliser le fait que $α={-b}/{2a}$ et que $β=f(α)$.
   Donc: $α={-b}/{2a}={1}/{-12}=-{1}/{12}$.
   Et: $β=f(α)=f(-{1}/{12})={150}/{144}={25}/{24}$.
   D'où la forme canonique: $f(x)=-6(x-(-{1}/{12}))^2+{25}/{24}=-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$
   
   c. Résolvons l'équation $f(x)={25}/{24}$
   Comme ${25}/{24}$ apparait dans la forme canonique, on utilise cette écriture.
   $f(x)={25}/{24}$ $ ⇔ $ $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}={25}/{24}$ $ ⇔ $ $-6(x+{1}/{12})^2=0$
   Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
   On obtient: $f(x)={25}/{24}$ $ ⇔ $ $-6=0$ (ce qui est impossible) ou $(x+{1}/{12})^2=0$
   Le carré d'un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul.
   On obtient: $f(x)={25}/{24}$ $ ⇔ $ $ x+{1}/{12}=0$
   Soit: $f(x)={25}/{24}$ $ ⇔ $ $ x=-{1}/{12}$
   Donc S$=\{-{1}/{12}\}$
   


2. a. $f(x)=x^2-14x+49$.
   $f$ est un trinôme du second degré avec $a=1$, $b=-14$ et $c=49$.
   
   b. Un trinôme     $ax^2+bx+c$    admet pour forme canonique     $a(x-α)^2+ β$
   La forme canonique était ici évidente en utilisant l'identité remarquable $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
   On obtient: $f(x)=x^2-2×x×7+7^2=(x-7)^2$
   On reconnait une écriture canonique $1(x-7)^2+0$
   
   Une autre méthode consiste à utiliser le fait que $α={-b}/{2a}$ et que $β=f(α)$.
   On obtient: $α={-b}/{2a}={14}/{2}=7$.
   Et: $β=f(α)=f(7)=0$.
   D'où la forme canonique: $f(x)=1(x-7)^2+0=(x-7)^2$
   On notera que la forme canonique est ici égale à la forme factorisée!
   
   c. Résolvons l'équation $f(x)=0$
   On obtient: $f(x)=0$ $ ⇔ $ $(x-7)^2=0$
   Le carré d'un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul.
   On obtient: $f(x)=0$ $ ⇔ $ $ x-7=0$
   Soit: $f(x)=0$ $ ⇔ $ $ x=7$
   Donc S$=\{7\}$
   


3. a. $f(x)=x^2-10x+3$.
   $f$ est un trinôme du second degré avec $a=1$, $b=-10$ et $c=3$.
   
   b. Un trinôme     $ax^2+bx+c$    admet pour forme canonique     $a(x-α)^2+ β$
   Nous cherchons la forme canonique par la méthode de complétion du carré.
   On obtient: $f(x)=x^2-10x+3=x^2-2×5×x+3$.
   Soit: $f(x)=x^2-2×5×x+5^2-5^2+3=(x-5)^2-25+3$.
   Soit: $f(x)=(x-5)^2-22$.
   On reconnait une écriture canonique $1(x-5)^2+(-22)$
   
   c. A retenir: le minimum d'une fonction, s'il existe, est la plus petite de ses images.
   Montrons que $-22$ est le minimum de $f$ et qu'il est atteint pour $x=5$.
   Il suffit de montrer que, pour tout $x$, $f(x)≥f(5)$.
   
   On commence par calculer: $f(5)=(5-5)^2-22=-22$.
   Il suffit donc de montrer que: pour tout nombre réel $x$, $f(x)≥-22$.
   Or on a: $(x-5)^2≥0$ (car le membre de gauche est un carré).
   Et donc: $(x-5)^2-22≥0-22$.
   Et par là: pour tout nombre réel $x$, $f(x)≥-22$.
   Donc, finalement, $m$ admet $-22$ comme minimum, et ce minimum est atteint pour $x=5$.
   On peut aussi savoir que, si $a$>$0$, alors le trinôme $a(x-α)^2+ β$ admet pour minimum $β$, et ce minimum est atteint en $α$.
   Mais ce résultat utilise des résultats de la partie II du cours, vue en milieu d'année .
   


4. a. $f(x)=2x^2-4x+5$.
   $f$ est un trinôme du second degré avec $a=2$, $b=-4$ et $c=5$.
   
   b. La forme proposée est bien une forme canonique (avec $α=1$ et $β=3$).
   On veut donc montrer l'égalité $f(x)=2(x-1)^2+3$
   On développe le second membre.
   $2(x-1)^2+3=2(x^2-2x+1)+3=2x^2-4x+2+3=2x^2-4x+5=f(x)$
   Donc $f$ admet bien pour forme canonique $2(x-1)^2+3$.
   
   c. Résolvons l'équation (E): $2x^2=4x+16$
   On tente de faire apparaître le trinôme $f(x)$, en transposant $4x$ et en ajoutant 5 aux 2 membres.
   (E) $ ⇔ $ $2x^2-4x+5=16+5$
   (E) $ ⇔ $ $f(x)=21$
   On utilise alors la forme canonique, qui permet de résoudre ce type d'équation en isolant le carré.
   (E) $ ⇔ $ $2(x-1)^2+3=21$
   (E) $ ⇔ $ $2(x-1)^2=18$
   (E) $ ⇔ $ $(x-1)^2=9$
   (E) $ ⇔ $ $x-1=-3$ ou $x-1=3$
   (E) $ ⇔ $ $x=-2$ ou $x=4$
   Donc S$=\{-2;4\}$