La Spécialité Maths en Première

L'essentiel pour réussir ses devoirs

Variations

Exercice 6

Soit $a$ , $b$ et $c$ trois réels fixés. Le réel $a$ est supposé non nul.
Soit $f$ la fonction définie sur $ ℝ$ par $f(x)=ax^2+bx+c$
La fonction $C$ est représentée par la courbe $\P$ dans un repère orthonormé (O,I,J).
Vous allez ici démontrer plusieurs résultats qui sont, ou seront, dans votre cours de première.

  1. Quelle est la nature de $f$?

  2. a. Déterminer $f\,'(x)$.
    b. On suppose que $a$>$0$.
    Déterminer le signe de $f\,'$ sur $ ℝ$, et dresser alors le tableau de variation de $f$ sur $ ℝ$.
    c. On suppose que $a$<$0$.
    Déterminer le signe de $f\,'$ sur $ ℝ$, et dresser alors le tableau de variation de $f$ sur $ ℝ$.

  3. En déduire, suivant le signe de $a$, la nature de l'extremum de $β$ de $f$. Pour quelle abscisse $α$ est-il atteint?

  4. On peut alors montrer que $f(x)=a(x-α)^2+ β$.
    On admet que $\P$ est une parabole.
    Montrer que, pour tout réel $h$, on a: $f(α-h)=f(α+h)$.
    Que peut-on en déduire concernant la parabole $\P$?


Solution...
Corrigé

  1. $f(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a$ non nul)
    Donc $f$ est un trinôme du second degré.

  2. a. $f\,'(x)=2ax+b$.
    b. $2ax+b$ est une fonction affine, de coefficient directeur $a$ strictement positif, qui s'annule pour $x={-b}/{2a}$.
    D'où le tableau de variation de $f$ sur $ ℝ$.
    fig22
    c. $2ax+b$ est une fonction affine, de coefficient directeur $a$ strictement négatif, qui s'annule pour $x={-b}/{2a}$.
    D'où le tableau de variation de $f$ sur $ ℝ$.
    fig23

  3. Par conséquent:
    Si $a$>$0$, alors $f$ admet un minimum.
    Si $a$<$0$, alors $f$ admet un maximum.
    Dans tous les cas, cet extremum est atteint pour l'abscisse $α={-b}/{2a}$

  4. On peut alors montrer que $f(x)=a(x-α)^2+ β$.
    On admet que $\P$ est une parabole.
    Soient $h$ un réel quelconque.
    On a: $f(α-h)=a(α-h-α)^2+ β=a(-h)^2+β=ah^2+β$
    Et on a: $f(α+h)=a(α+h-α)^2+ β=ah^2+β$
    Donc: $f(α-h)=f(α+h)$, et c'est vrai pour tout réel $h$.
    Donc, comme les axes du repère orthonormé sont perpendiculaires, la parabole $\P$ admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=α$.
    fig24

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