Variations
Exercice 6
Soit , et trois réels fixés. Le réel est supposé non nul.
Soit la fonction définie sur par
La fonction est représentée par la courbe dans un repère orthonormé (O,I,J).
Le début de l'exercice est une redite de la Partie A de l'exercice 2 .
-
Quelle est la nature de ?
- a. Déterminer .
b. On suppose que >.
Déterminer le signe de sur , et dresser alors le tableau de variation de sur .
c. On suppose que <.
Déterminer le signe de sur , et dresser alors le tableau de variation de sur .
- En déduire, suivant le signe de , la nature de l'extremum de de . Pour quelle abscisse est-il atteint?
- On peut alors montrer que .
On admet que est une parabole.
Montrer que, pour tout réel , on a: .
Que peut-on en déduire concernant la parabole ?
Solution...
Corrigé
- (avec non nul)
Donc est un trinôme du second degré.
- a. .
b. est une fonction affine, de coefficient directeur strictement positif, qui s'annule pour .
D'où le tableau de variation de sur .
c. est une fonction affine, de coefficient directeur strictement négatif, qui s'annule pour .
D'où le tableau de variation de sur .
- Par conséquent:
Si >, alors admet un minimum.
Si <, alors admet un maximum.
Dans tous les cas, cet extremum est atteint pour l'abscisse
- On peut alors montrer que .
On admet que est une parabole.
Soient un réel quelconque.
On a:
Et on a:
Donc: , et c'est vrai pour tout réel .
Donc, comme les axes du repère orthonormé sont perpendiculaires, la parabole admet pour axe de symétrie la droite d'équation .
Le point de coordonnées s'appelle le "sommet" de la parabole .
Les personnes observatrices auront remarqué que, si >, alors le "sommet" est en bas!
Réduire...