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La géométrie analytique du plan

Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,I,J).
On considère les points $A(1;2)$, $B(4;0)$, $C(6;3)$ et $D(x_D;y_D)$.
1. Soit $K(x_K;y_K)$ le milieu du segment [AC].
Déterminer les coordonnées du point K.
2. On suppose que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Déterminer les coordonnées du point D.
3. Faire une figure, puis conjecturer la nature du parallélogramme ABCD.
4. Prouver la conjecture proposée au 3.


Solution...
Corrigé

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,I,J).
On considère les points $A(1;2)$, $B(4;0)$, $C(6;3)$ et $D(x_D;y_D)$.
Un rappel important: une démonstration part toujours de l'énoncé ou de ce qui a déjà été prouvé auparavant.
Vous remarquerez donc que, dans ce qui suit, chaque début de réponse est soit une phrase de l'énoncé, soit un résultat prouvé antérieurement.


1. A savoir ici: la formule donnant les coordonnées du milieu d'un segment.
$K(x_K;y_K)$ est le milieu du segment [AC].
Donc: $x_K={x_A+x_C}/{2}$ et $y_K={y_A+y_C}/{2}$
Soit: $x_K={1+6}/{2}=3,5$ et $y_K={2+3}/{2}=2,5$
Donc: $K(3,5;2,5)$.

2. A savoir ici: un parallélogramme possède des diagonales ayant le même milieu.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Donc ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
Or K est le milieu du segment [AC].
Donc K est aussi le milieu du segment [BD].
Donc: $x_K={x_B+x_D}/{2}$ et $y_K={y_B+y_D}/{2}$
Soit: $3,5={4+x_D}/{2}$ et $2,5={0+y_D}/{2}$
Donc: $3,5 ×2=4+x_D$ et $2,5×2=y_D$
Donc: $7-4=x_D$ et $5=y_D$
Soit: $3=x_D$ et $5=y_D$
Donc: $D(3;5)$.

3. La figure demandée est tracée ci-dessous.
fig1
A savoir ici: une conjecture est une "propriété" qui n'a pas encore été démontrée.
Nous conjecturons que le parallélogramme ABCD est un carré.

4. A savoir ici: la formule donnant la distance entre 2 points (dans un repère orthonormé).
Nous savons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Démontrons que AC=BD.
On a: $AC=√{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$
Soit: $AC=√{(6-1)^2+(3-2)^2}=√{5^2+1^2}=√26$
De même, on a: $BD=√{(x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2}$
Soit: $BD=√{(3-4)^2+(5-0)^2}=√{(-1)^2+5^2}=√26$
Donc finalement, on obtient: AC=BD.
Par conséquent, le parallélogramme ABCD a ses diagonales de mêmes longueurs.
Donc le parallélogramme ABCD est un rectangle.

Nous savons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Démontrons que AB=BC.
On a: $AB=√{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Soit: $AB=√{(4-1)^2+(0-2)^2}=√{3^2+(-2)^2}=√13$
De même, on a: $BC=√{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$
Soit: $BC=√{(6-4)^2+(3-0)^2}=√{2^2+3^2}=√13$
Donc finalement, on obtient: AB=BC.
Par conséquent, le parallélogramme ABCD a 2 côtés consécutifs de mêmes longueurs.
Donc le parallélogramme ABCD est un losange.

Finalement, ABCD est à la fois un rectangle et un losange. Donc c'est un carré.
A retenir:
Pour montrer qu'un quadrilatère est un rectangle, il suffit de montrer que c'est un parallélogramme, et qu'il possède 2 diagonales de mêmes longueurs.
Pour montrer qu'un quadrilatère est un losange, il suffit de montrer que c'est un parallélogramme, et qu'il possède 2 côtés consécutifs de mêmes longueurs.
Pour montrer qu'un quadrilatère est un carré, il suffit de montrer que c'est à la fois un rectangle et un losange.


Remarque: le début de cet exercice peut aussi se traiter de façon vectorielle (voir l'exercice 1 sur les vecteurs)

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