Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Les vecteurs

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,I,J).
On considère les points $A(1;2)$, $B(4;0)$, $C(6;3)$ et $D(x_D;y_D)$.
Répondre aux questions suivantes en utilisant des vecteurs.
Remarque: cet exercice peut aussi se traiter sans utiliser les vecteurs (voir l'exercice 1 sur la géométrie analytique)
1. Soit $K(x_K;y_K)$ le milieu du segment [AC].
Déterminer les coordonnées du point K.
2. On suppose que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Déterminer les coordonnées du point D.
3. Faire une figure, puis conjecturer la nature du parallélogramme ABCD.
4. Prouver la conjecture proposée au 3.


Solution...
Corrigé

A savoir pour faire cet exercice:
les coordonnées du vecteur ${AB}↖{→}$ sont:   $x_{{AB}↖{→}}=x_B-x_A$    et    $y_{{AB}↖{→}}=y_B-y_A$.


1. K est le milieu de [AC], donc: ${AK}↖{→}={KC}↖{→}$
Donc: $x_K-x_A=x_C-x_K$ et $y_K-y_A=y_C-y_K$
Soit: $x_K-1=6-x_K$ et $y_K-2=3-y_K$
Donc: $x_K-1-6+x_K=0$ et $y_K-2-3+y_K=0$
Soit: $2x_K-7=0$ et $2y_K-5=0$
Donc: $x_K={7}/{2}=3,5$ et $y_K={5}/{2}=2,5$
Donc $K(3,5;2,5)$.

2. ABCD est un parallélogramme, donc: ${AB}↖{→}={DC}↖{→}$
Donc: $x_B-x_A=x_C-x_D$ et $y_B-y_A=y_C-y_D$
Soit: $4-1=6-x_D$ et $0-2=3-y_D$
Donc: $4-1-6+x_D=0$ et $0-2-3+y_D=0$
Soit: $-3+x_D=0$ et $-5+y_D=0$
Donc: $x_D=3$ et $y_D=5$
Donc $D(3;5)$.

3. Une figure convenable est tracée ci-dessous.
fig2
A savoir ici: une conjecture est une "propriété" qui n'a pas encore été démontrée.
Nous conjecturons que le parallélogramme ABCD est un carré.

4. La démonstration est donnée dans la réponse à la question 4. de l'exercice 1 sur les bases de la géométrie analytique dans le plan.

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