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Géométrie dans l'espace

Exercice 1

Voici un problème de synthèse, parfois difficile, mais intéressant...

L'unité de longueur est le cm.
ABCD est une pyramide telle que,
$AB=5$, $AC=3$, $AD=2$ et $BC=√{34}$.
De plus, les triangles ADC et ADB sont rectangles en A.
La pyramide est dessinée ci-dessous en perspective cavalière.
perspective

  1. Que dire du triangle ABC?
  2. Calculer les distances CD et BD.
  3. Faire un patron de la pyramide.
  4. Calculer le volume de la pyramide.
  5. Une demi-sphère de rayon 5 est remplie d'eau.
    On y plonge entièrement la pyramide.
    Quel volume d'eau déborde?
  6. Soit H le pied de la hauteur du triangle BCD issue de D.
    On admettra que H appartient au segment [BC].
    On pose: $BH=x$, et $HD=h_D$.
    Exprimer les distances $BD$ et $CD$ en fonction de $x$ et de $h_D$.
    Déterminer alors une équation dont $x$ est solution.
    Déterminer la valeur de $x$, puis en déduire que $h_D={19}/{√34}$.
  7. Calculer l'aire extérieure de la pyramide.
  8. Quelle est la longueur $h_B$ de la hauteur du triangle BCD issue de B?
  9. Quelle est la longueur $l$ de la hauteur de la pyramide issue de A?

Solution...
Corrigé
    Dans le corrigé, toutes les distances sont supposées exprimées en $cm$.
  1. On a: $CA^2+AB^2=3^2+5^2=34=CB^2$.
    Soit: $CA^2+AB^2=CB^2$.
    Et par là, le triangle ABC est rectangle en A (d'après la réciproque du théorème de Pythagore).

  2. Le triangle ADC est rectangle en A.
    Donc: $CD^2=CA^2+AD^2$ (d'après le théorème de Pythagore).
    Soit: $CD^2=3^2+2^2=13$.
    Et donc, comme CD est positive, on obtient: $CD=√13≈3,61$.
    De même, le triangle ADB est rectangle en A.
    Donc: $BD^2=BA^2+AD^2$ (d'après le théorème de Pythagore).
    Soit: $BD^2=5^2+2^2=29$.
    Et donc, comme BD est positive, on obtient: $BD=√29≈5,39$.

  3. Un patron possible est proposé ci-dessous.
    patron

  4. Soit $V$ le volume de la pyramide.
    Comme les triangles ADC et ADB sont rectangles en A, le segment [AD] est la hauteur de la pyramide ABCD associé à la base ABC.
    Donc: $V={1}/{3}×aire(ABC)×AD$.
    Or, comme ABC est rectangle en A, son aire vaut $aire(ABC)={AB×AC}/{2}={5×3}/{2}=7,5$.
    Et on sait que $AD=2$.
    Donc, finalement: $V={1}/{3}×7,5×2$.
    Soit: $V=5$.
    Le volume de la pyramide est de 5 ($cm^3$).

  5. Le volume d'eau qui déborde est tout simplement celui de la pyramide!
    Par conséquent, 5 $cm^3$ d'eau débordent.
    Pour ceux que cela intéresse, la demi-sphère de rayon 5 a pour volume: ${1}/{2}×{4}/{3}×π×5^3={250π}/{3}≈83,33$ ($cm^3$).
    Le volume d'eau restant est donc: ${250π}/{3}-5≈78,83$ ($cm^3$).


  6. Considérons le triangle BCD représenté ci-dessous.
    hauteur
    On admettra que H appartient au segment [BC].
    Par conséquent: $CH=CB-BH=√{34}-x$.
    Soit: $CH=√{34}-x$.

    Par ailleurs, comme H est le pied de la hauteur du triangle BCD issue de D,
    BHD est rectangle en H.
    Donc: $BD^2=BH^2+HD^2$ (d'après la réciproque du théorème de Pythagore).
    Soit: $BD^2=x^2+{h_D}^2$.

    Enfin, comme H est le pied de la hauteur du triangle BCD issue de D,
    CHD est rectangle en H.
    Donc: $CD^2=CH^2+HD^2$ (d'après la réciproque du théorème de Pythagore).
    Soit: $CD^2=(√{34}-x)^2+{h_D}^2=34-2√{34}x+x^2+{h_D}^2$.
    Soit: $CD^2=34-2√{34}x+x^2+{h_D}^2$.

    Comme $BD^2=x^2+{h_D}^2$, on en déduit que: $BD^2-x^2={h_D}^2$.
    Et comme $CD^2=34-2√{34}x+x^2+{h_D}^2$, on en déduit que: $CD^2-34+2√{34}x-x^2={h_D}^2$.
    Par conséquent: $BD^2-x^2=CD^2-34+2√{34}x-x^2$.
    Soit: $29-x^2=13-34+2√{34}x-x^2$.
    L'égalité ci-dessus est bien une équation dont $x$ est solution.

    Résolution.
    On obtient: $29-x^2-13+34-2√{34}x+x^2=0$.
    Soit: $50-2√{34}x=0$.
    Et par là: $x={-50}/{-2√{34}}={25}/{√{34}}≈4,29$.

    Par ailleurs, comme $BD^2=x^2+{h_D}^2$, on obtient: $BD^2-x^2={h_D}^2$.
    Donc, comme $h_D$ est positive, $h_D=√{(√{29})^2-({25}/{√{34}})^2}=√{29-{625}/{34}}$. Soit: $h_D={19}/{√34}≈3,26$.

  7. L'aire extérieure de la pyramide est la somme des aires des triangles qui la composent.
    On a vu que: $aire(ABC)=7,5$.
    Pour les autres triangles rectangles, on procède comme pour ABC.
    On a alors: $aire(ACD)={AC×AD}/{2}={3×2}/{2}=3$.
    Et: $aire(ABD)={AB×AD}/{2}={5×2}/{2}=5$.
    Le triangle BCD a pour base $BC=√{34}$ et pour hauteur $h_D={19}/{√34}$.
    Donc: $aire(BCD)={BC×h_D}/{2}={√{34}×{19}/{√34}}/{2}=9,5$.
    On obtient alors: $aire(ABC)+aire(ACD)+aire(ABD)+aire(BCD)=7,5+3+5+9,5=25$.
    L'aire extérieure vaut donc: $25$ ($cm^2$)

  8. Le triangle BCD a pour aire: $aire(BCD)={CD×h_B}/{2}$.
    Soit: $9,5={√13×h_B}/{2}$.
    Et par là: $9,5×{2}/{√13}=h_B$.
    Soit: $h_B={19}/{√13}≈5,27$.

  9. La base de la pyramide associée à la hauteur $l$ est le triangle BCD.
    Or la pyramide a pour volume $V$.
    Par conséquent, on a: $V={1}/{3}×aire(BCD)×l$.
    Soit: $5={1}/{3}×9,5×l$.
    Et donc: $5×{3}/{1}×{1}/{9,5}=l$ Soit: $l={30}/{19}≈1,58$
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