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Géométrie dans l'espace

Exercice 2

ABCD est un tétraèdre non aplati.
X un point de l'arête [AD] distinct de A et de D.
Y un point de l'arête [AC] distinct de A et de C.
Z un point de l'arête [AB] distinct de A et de B.
Les droites (YZ) et (CB) se coupent au point K.
Les droites (ZX) et (BD) se coupent au point L.
Les droites (XY) et (DC) se coupent au point M.

1. Démontrer que les plans (XYZ) et (BCD) ne sont pas confondus.
Cette question est difficile!
Il est conseillé de raisonner par l'absurde...
Supposer tout d'abord que les plans (XYZ) et (BCD) sont confondus en un plan que l'on nommera $P$.
Expliquer alors pour quelle raison la droite (DX) est dans $P$.
Démontrer ensuite que A est dans $P$.
Sachant que ABCD est un tétraèdre non aplati, conclure.

2. Expliquer pourquoi le point K appartient au plan (XYZ).
Montrer que le point K appartient à l'intersection des plans (XYZ) et (BCD).
De façon similaire, montrer que les point L et M appartiennent aussi à l'intersection des plans (XYZ) et (BCD).

3. Démontrer que les points K, L et M sont alignés.

tétraèdre et plans sécants
Solution...
Corrigé

1. Raisonnons par l'absurde.
Supposons que les plans (XYZ) et (BCD) sont confondus en un plan que l'on nommera $P$.
Alors, D est dans $P$, et X est dans $P$. Donc la droite (DX) est dans $P$.
Par ailleurs, comme X est un point de l'arête [AD] distinct de A et de D, on en déduit que A appartient à la droite (DX).
Par conséquent, A serait dans $P$, ce qui implique que A, B, C et D seraient coplanaires, ce qui est absurde car le tétraèdre ABCD n'est pas aplati.
Donc les plans (XYZ) et (BCD) ne sont pas confondus.

2. Les droites (YZ) et (CB) se coupent au point K.
Donc, le point K appartient à la droite (YZ), et par là, il appartient au plan (XYZ).
Et, de même, le point K appartient à la droite (CB), et par là, il appartient au plan (BCD).
Finalement, nous avons prouvé que le point K appartient à l'intersection des plans (XYZ) et (BCD).

Les droites (ZX) et (BD) se coupent au point L.
Donc, le point L appartient à la droite (ZX), et par là, il appartient au plan (XYZ).
Et, de même, le point L appartient à la droite (BD), et par là, il appartient au plan (BCD).
Finalement, nous avons prouvé que le point L appartient à l'intersection des plans (XYZ) et (BCD).

Les droites (XY) et (DC) se coupent au point M.
Donc, le point M appartient à la droite (XY), et par là, il appartient au plan (XYZ).
Et, de même, le point M appartient à la droite (DC), et par là, il appartient au plan (BCD).
Finalement, nous avons prouvé que le point M appartient à l'intersection des plans (XYZ) et (BCD).

3. Or, comme les plans (XYZ) et (BCD) ne sont pas confondus, ils sont:
soit sécants selon une droite,
soit strictement parallèles.
La seconde hypothèse est impossible car leur intersection contient les points K, L et M.
Donc les plans (XYZ) et (BCD) sont sécants selon une droite, et comme leur intersection contient les points K, L et M, ces trois points sont alignés sur la droite d'intersection.

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