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Fonctions de référence

Exercice 10

  1. Résoudre l'équation (1): $√{x}=3$.
  2. Résoudre l'équation (2): $2√{x}-9=0$.
  3. Résoudre l'inéquation (3): $√{x}≤4$.
  4. Résoudre l'inéquation (4): $√{x}≥1,5$.
  5. Résoudre l'équation (5): $√{x-2}=3$.


Solution...
Corrigé

A retenir: dans une équation ou une inéquation dont le membre de droite est nul,
si le membre de gauche contient des $x$ uniquement sous la forme $√{g(x)}$,
alors il est conseillé d'isoler cette racine carrée.



  1. Nous sommes en présence d'une racine. Il peut y avoir des valeurs interdites!
    Ici, les seules valeurs interdites sont les réels strictement négatifs.

    Le domaine d'étude est: $\D_E=[0;+∞[$

    Résolution:
    (1) $⇔$ $√{x}=3$ $⇔$ $x=3^2=9$
    S$=\{9\}$
    A retenir: si $a≥0$, alors: $√{x}=a$ $⇔$ $x=a^2$.

  2. Nous sommes en présence d'une racine. Il peut y avoir des valeurs interdites!
    On a évidemment: $\D_E=[0;+∞[$

    (2) $⇔$ $2√{x}-9=0$ $⇔$ $2√{x}=9$ $⇔$ $√{x}={9}/{2}=4,5$ $⇔$ $x=4,5^2=20,25$
    S$=\{20,25\}$

  3. On a évidemment: $\D_E=[0;+∞[$

    Résolution:
    (3) $⇔$ $√{x}≤4$
    Pour résoudre une telle inéquation, il faut avoir en tête l'allure de la demi-parabole représentant la fonction carrée
    fig1
    On remarque que $√{x}=4$ $⇔$ $x=4^2=16$.
    On obtient: (3) $⇔$ $0≤x≤16$
    S$=[0;16]$

  4. On a évidemment: $\D_E=[0;+∞[$

    Résolution:
    (4) $⇔$ $√{x}≥1,5$
    Pour résoudre une telle inéquation, il faut avoir en tête l'allure de la demi-parabole représentant la fonction carrée
    fig2
    On remarque que $√{x}=1,5$ $⇔$ $x=1,5^2=2,25$.
    On obtient: (4) $⇔$ $2,25≤x$
    S$=[2,25;+∞[$

  5. On doit avoir $x-2≥0$, et donc: $x≥2$.
    Donc: $\D_E=[2;+∞[$

    (5)$⇔$ $√{x-2}=3$ $⇔$ $x-2=3^2=9$
    Soit: (5)$⇔$ $x=9+2$
    Soit: (5)$⇔$ $x=11$
    S$=\{11\}$
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