Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Fonctions de référence

Exercice 12

  • Résoudre l'équation $x^3=125$
  • Comparer, sans calcul, $1,05^3$ à $1,06^3$.
  • On suppose que $x$>$4$. Montrer que $x^3+1$>$65$.
  • On suppose que $-2$<$x$<$-1$. Montrer que $-9$<$x^3-x^2$<$-5$.
  • Résoudre l'inéquation $x^3$<$125$

Solution...
Corrigé
  • $x^3=125⇔$ $x^3=5^3$ $⇔$ $x=5$
    Donc $\S=\{5\}$.

  • On sait que $1,05<1,06$.
    Donc, comme la fonction cube est strictement croissante, on a: $1,05^3$<$1,06^3$.
    A retenir:
    La fonction cube est strictement croissante, donc elle conserve l'ordre.

  • On sait que $x$>$4$.
    Donc, comme la fonction cube est strictement croissante, on a: $x^3$>$4^3$.
    Et donc: $x^3+1$>$64+1$.
    Soit: $x^3+1$>$65$.


  • On sait que: $-2$<$x$<$-1$.
    Donc, comme la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\∞;0]$: $(-2)^2$>$x^2$>$(-1)^2$.
    Soit: $4$>$x^2$>$1$.
    Et donc: $-1$<$-x^2$<$-4$

    On reprend: $-2$<$x$<$-1$.
    Donc, comme la fonction cube est strictement croissante: $(-2)^3$<$x^3$<$(-1)^3$.
    Soit: $-8$<$x^3$<$-1$.

    Par conséquent, on obtient par sommation: $-1+(-8)$<$-x^2+x^3$<$-4+(-1)$
    Soit:$-9$<$x^3-x^2$<$-5$.

  • $x^3$<$125⇔$ $x^3$<$5^3$
    Soit: $x^3$<$125⇔$ $x$<$5$ (car la fonction cube est strictement croissante)
    Donc $\S=]-∞;5[$.
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