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Fonctions de référence

Exercice 7

  1. Montrer que: pour tout réel $x$, on a: $11x^2-122x+11=(x-11)(11x-1)$
  2. La somme d'un nombre entier naturel et de son inverse vaut ${122}/{11}$.
    Quel est ce nombre?


Solution...
Corrigé
  1. Pour tout réel $x$, on a: $(x-11)(11x-1)=11x^2-x-121x+11=11x^2-122x+11$.   c.q.f.d.
    A retenir: pour montrer une égalité, ne pas partir de l'égalité à obtenir.
    Il faut choisir l'un des 2 membres, et montrer qu'il est égal à l'autre.

    Remarque: "c.q.f.d." signifie "ce qu'il fallait démontrer". Cela permet donc de terminer une démonstration.

  2. Soit $x$ l'entier naturel cherché.
    $x$ est solution de l'équation: (E): $x+{1}/{x}={122}/{11}$.

    Le membre de gauche contient un quotient. Il peut y avoir des valeurs interdites!
    On doit avoir: $x≠0$. C'est la valeur interdite.
    Par ailleurs, rappelons que $x$ est un entier.
    Par conséquent, les seules valeurs "autorisées" sont les entiers naturels non nuls.

    Résolution:
    (E) $⇔$ $x+{1}/{x}={122}/{11}$ $⇔$ $x+{1}/{x}-{122}/{11}=0$
    Le membre de gauche contient un quotient avec $x$ au dénominateur.
    Nous tentons donc de réduire au même dénominateur.

    On obtient: (E) $⇔$ ${11x^2}/{11x}+{11}/{11x}-{122x}/{11x}=0$
    Donc: (E) $⇔$ ${11x^2+11-122x}/{11x}=0$
    Rappel: un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
    Donc: (E) $⇔$ $11x^2+11-122x=0$
    La factorisation du membre de gauche a été démontrée dans le 1.
    On obtient donc: (E) $⇔$ $(x-11)(11x-1)=0$
    Donc: (E) $⇔$ $x-11=0$ ou $11x-1=0$ $⇔$ $x=11$ ou $x={1}/{11}$
    Or la valeur cherchée est un entier strictement positif. Il ne peut s'agir que de 11.
    Le nombre cherché est 11.
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