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Exercice 8

  1. Résoudre l'équation (1): ${1}/{x}=0,5$.
  2. Résoudre l'équation (2): ${5}/{x}-9=0$.
  3. Résoudre l'inéquation (3): ${1}/{x}≤0,5$.
  4. Résoudre l'inéquation (4): ${1}/{x}≥0,2$.
  5. Résoudre l'inéquation (5): $3+{1}/{x}≥0$.
  6. Résoudre l'équation (6): ${1}/{3x-10}=0,5$.
  7. Résoudre l'équation (7): ${6}/{x-2}-3,5=0$.
  8. Résoudre l'inéquation (8): ${1}/{x-2}≤0,5$.
  9. Résoudre l'inéquation (9):${6}/{x-2}-3,5$<$0$.
  10. Résoudre l'inéquation (10): ${1}/{x}-{1}/{x-1}≤0$.


Solution...
Corrigé

A retenir: dans une équation ou une inéquation dont le membre de droite est nul,
si le membre de gauche contient des $x$ uniquement sous la forme ${k}/{g(x)}$,
alors il est conseillé d'isoler ce quotient.



  1. Nous sommes en présence d'un quotient. Il peut y avoir des valeurs interdites!
    Ici, la seule valeur interdite est $0$.

    Le domaine d'étude est: $\D_E=\ℝ ∖\{0\}$

    Résolution:
    (1) $⇔$ ${1}/{x}=0,5$ $⇔$ $x={1}/{0,5}=2$
    S$=\{2\}$
    A retenir: si $a≠0$, alors: ${1}/{x}=a$ $⇔$ $x={1}/{a}$.

  2. Nous sommes en présence d'un quotient. Il peut y avoir des valeurs interdites!
    On a évidemment: $\D_E=\ℝ ∖\{0\}$

    (2) $⇔$ ${5}/{x}-9=0$ $⇔$ ${5}/{x}=9$ $⇔$ ${1}/{x}={9}/{5}$ $⇔$ $x={5}/{9}$
    S$=\{{5}/{9}\}$

  3. On a évidemment: $\D_E=\ℝ ∖\{0\}$

    Résolution:
    (3) $⇔$ ${1}/{x}≤0,5$
    Pour résoudre une telle inéquation, il faut avoir en tête l'allure de l'hyperbole représentant la fonction inverse
    fig1
    On remarque que ${1}/{x}=0,5$ $⇔$ $x=2$.
    On obtient: (3) $⇔$ $x$<$0$ ou $x≥{1}/{0,5}$
    Soit: (3) $⇔$ $x$<$0$ ou $x≥2$
    S$=]- ∞; 0[ ⋃ [2;+∞[$

  4. On a évidemment: $\D_E=\ℝ ∖\{0\}$

    Résolution:
    (4) $⇔$ ${1}/{x}≥0,2$
    Pour résoudre une telle inéquation, il faut avoir en tête l'allure de l'hyperbole représentant la fonction inverse
    fig2
    On remarque que ${1}/{x}=0,2$ $⇔$ $x={1}/{0,2}=5$.
    On obtient: (4) $⇔$ $0$<$x≤5$
    S$=]0:5]$

  5. On a évidemment $\D_E=\ℝ ∖\{0\}$

    On isole l'inverse.
    (5) $⇔$ ${1}/{x}≥-3$
    Pour résoudre une telle inéquation, il faut avoir en tête l'allure de l'hyperbole représentant la fonction inverse
    fig4
    On obtient: (8) $⇔$ $x≤{1}/{-3}$ ou $x$>$0$
    S$=]- ∞; -{1}/{3}] ⋃ ]0;+∞[$

  6. On doit avoir $3x-10≠0$, et donc: $x≠{10}/{3}$.
    Donc le domaine d'étude est: $\D_E=\ℝ ∖\{{10}/{3}\}$

    Résolution:
    On a là un quotient du type ${1}/{g(x)}$, ce qui permet de procéder comme au 1.
    (6) $⇔$ ${1}/{3x-10}=0,5$ $⇔$ $3x-10={1}/{0,5}$ $⇔$ $3x=2+10$
    Soit: (6) $⇔$ $x={12}/{3}=4$
    S$=\{4\}$

  7. On doit avoir $x-2≠0$, et donc: $x≠2$.
    Donc: $\D_E=\ℝ ∖\{2\}$

    On va isoler un quotient du type ${1}/{g(x)}$ pour procéder comme au 6.
    (7) $⇔$ ${6}/{x-2}-3,5=0$ $⇔$ ${6}/{x-2}=3,5$
    Soit: (7) $⇔$ ${1}/{x-2}={3,5}/{6}$
    Soit: (7) $⇔$ $x-2= {6}/{3,5}$
    Soit: (7) $⇔$ $x= 2+{6}/{3,5}={14}/{7}+{12}/{7}={26}/{7}$
    S$=\{{26}/{7}\}$

  8. Comme dans l'équation (7), on a: $\D_E=\ℝ ∖\{2\}$

    On va isoler un quotient du type ${1}/{g(x)}$ pour procéder comme au 3.
    On obtient donc: (8) $⇔$ ${1}/{x-2}≤0,5$
    Or, on a vu précédemment que: ${1}/{x-2}=0,5$ $⇔$ $x-2= 2$
    Et connaissant l'allure de l'hyperbole représentant la fonction inverse, on obtient:
    (8) $⇔$ $x-2$<$0$ ou $x-2≥2$
    Soit: (8) $⇔$ $x$<$2$ ou $x≥2+2$
    Soit: (8) $⇔$ $x$<$2$ ou $x≥4$
    S$=]- ∞; 2[ ⋃ [4;+∞[$

  9. Comme dans l'équation (7), on a: $\D_E=\ℝ ∖\{2\}$

    On va isoler un quotient du type ${1}/{g(x)}$ pour procéder comme au 3.
    On obtient donc: (9) $⇔$ ${6}/{x-2}$<$3,5$ $⇔$ ${1}/{x-2}$<${3,5}/{6}$
    La division par 6 n'a pas changé le sens de l'inégalité car 6 est strictement positif
    Or, on a vu précédemment que: ${1}/{x-2}={3,5}/{6}$ $⇔$ $x-2= {6}/{3,5}$
    Et connaissant l'allure de l'hyperbole représentant la fonction inverse, on obtient:
    (9) $⇔$ $x-2$<$0$ ou $x-2$>${6}/{3,5}$
    Soit: (9) $⇔$ $x$<$2$ ou $x$>$2+{6}/{3,5}$
    Soit: (9) $⇔$ $x$<$2$ ou $x$>${26}/{7}$
    S$=]- ∞; 2[ ⋃ ]{26}/{7};+∞[$

  10. On doit avoir $x≠0$ et $x-1≠0$, et donc: $x≠0$ et $x≠1$.
    Donc: $\D_E=\ℝ ∖\{0;1\}$

    (10) $⇔$ ${1}/{x}-{1}/{x-1}≤0$

    Il est impossible d'isoler tous les $x$ dans un unique quotient du type ${k}/{g(x)}$. Par contre, on peut réduire au même dénominateur.


    (10) $⇔$ ${x-1}/{x(x-1)}-{x}/{x(x-1)}≤0$
    (10) $⇔$ ${x-1-x}/{x(x-1)}≤0$
    (10) $⇔$ ${-1}/{x(x-1)}≤0$
    Nous allons chercher le signe du membre de gauche; nous repèrerons en particulier les valeurs de $x$ pour lesquelles ce membre est négatif.
    Nous sommes en présence d'un quotient. Son numérateur $-1$ est strictement négatif. Son dénominateur est le produit de $x$ par $x-1$.
    La fonction $x$ est linéaire et son signe est évident.
    La fonction $x-1$ est affine; elle s'annule pour $x=1$, et son coefficient directeur est strictement positif (il vaut 1).
    D'où le tableau de signes suivant:
    fig3
    On cherche pour quels $x$ le quotient est négatif.
    On obtient donc: $x$<$0$ ou $x$>$1$.
    Donc: S$=]- ∞; 0[ ⋃ ]1;+∞[$

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