Maths Complémentaires en Terminale

L'essentiel pour réussir

Dérivation

Un conseil: revoir le cours sur la dérivation de la classe de première!

I Dérivée d'une fonction

Propriété

Le tableau suivant donne les fonctions de référence, leurs dérivées, et les intervalles sur lesquels sont définies ces dérivées.

Fonctions et dérivées vues en première
fig1

Fonction et dérivée vue en terminale
La fonction $\ln$, définie et dérivable sur $]0;+∞[$, admet pour dérivée ${1}/{x}$.


Cas particuliers

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle convenable,

alors la dérivée de la fonction $e^u$ est la fonction $u\,'e^u$

alors la dérivée de la fonction $u^2$ est la fonction $2u\,'u$

alors la dérivée de la fonction $u(ax+b)$ (pour $a$ et $b$ réels) est la fonction $au\,'(ax+b)$.

alors la dérivée de la fonction $\ln u$ est la fonction ${u\,'}/{u}$
(cette dernière fonction est vue en terminale)

Opérations

Le tableau ci-contre donne les dérivées d'une somme, d'un produit et d'un quotient de fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un même intervalle I (Pour la dérivée du quotient, $v$ est supposée ne pas s'annuler sur I).

Cas particuliers:
Si $k$ une constante, alors la dérivée de $ku$ est $ku\,'$.
La dérivée de ${1}/{v}$ est ${-v\,'}/{v^2}$.

fig3
Exemple

Dériver

  • $f(x)=-{5}/{3}x^2-4x+1$,
  • $g(x)=3+{1}/{2x+1}$
  • $h(x)=(8x+1)√{x}$
  • $k(x)={10-x}/{2x}$
  • $m(x)=e^{-2x+1}+3\ln (x^2)$
  • $n(x)=√{3x+1}+(-2x+1)^3$
Solution...
Corrigé

Dérivons $f(x)=-{5}/{3}x^2-4x+1$
On pose $k=-{5}/{3}$, $u=x^2$ et $v=-4x+1$.
Donc $u\,'=2x$ et $v\,'=-4$.
Ici $f=ku+v$ et donc $f\,'=ku\,'+v\,'$.
Donc $f\,'(x)=-{5}/{3}2x+(-4)=-{10}/{3}x-4$.


Dérivons $g(x)=3+{1}/{2x+1}$
On pose $v=2x+1$. Donc $v\,'=2$.
Ici $g=3+{1}/{v}$ et donc $g\,'=0+{-v\,'}/{v^2}$.
Donc $g\,'(x)=-{2}/{(2x+1)^2}$.


Dérivons $h(x)=(8x+1)√{x}$
On pose $u=8x+1$ et $v=√{x}$.
Donc $u\,'=8$ et $v\,'={1}/{2√{x}}$.
Ici $h=uv$ et donc $h\,'=u\,'v+uv\,'$.
Donc $h\,'(x)=8√{x}+(8x+1){1}/{2√{x}}=8√{x}+(8x+1)/{2√{x}}$.


Dérivons $k(x)={10-x}/{2x}$
On pose $u=10-x$ et $v=2x$.
Donc $u\,'=-1$ et $v\,'=2$.
Ici $k={u}/{v}$ et donc $k\,'={u\,'v-uv\,'}/{v^2}$.
Donc $k\,'(x)={(-1)2x-(10-x)2}/{(2x)^2}={-2x-20+2x}/{4x^2}={-20}/{4x^2}=-{5}/{x^2}$.

Dérivons $m(x)=e^{-2x+1}+3\ln (x^2)$
On pose $u=-2x+1$. Donc $u\,'=-2$.
De même $w=x^2$. Donc $w\,'=2x$.
Ici $m=e^u+3\ln w$ et donc $m\,'=u\,'e^u+3{w\,'}/{w}$.
Donc $m\,'(x)=(-2)×e^{-2x+1}+3{2x}/{x^2}=-2e^{-2x+1}+{6}/{x}$.


Dérivons $n(x)=√{3x+1}+(-2x+1)^2$
On pose: $u(y)=√{y}$, $a=3$ et $b=1$. On a donc: $u\,'(y)={1}/{2√{y}}$.
On rappelle que la dérivée de $u(ax+b)$ est $au\,'(ax+b)$.
Donc la dérivée de: $√{3x+1}$ est: $3{1}/{2√{3x+1}}$.
Par ailleurs, on pose: $w=-2x+1$. Donc: $w\,'=-2$.
Ici $n=u(3x+1)+w^2$ et donc $n\,'=3{1}/{2√{3x+1}}+2w\,'w$.
Donc $n\,'(x)={3}/{2√{3x+1}}+2 ×(-2) ×(-2x+1)={3}/{2√{3x+1}}-4(-2x+1)$.


Réduire...
Exemple

Dériver (avec une fonction vue en terminale)
$q(x)=x\ln x-x$

Solution...
Corrigé

Dérivons $q(x)=x\ln x-x$
On pose $u=x$. Donc $u\,'=1$.
De même $v=\ln x$. Donc $v\,'={1}/{x}$.
Ici $q=uv-x$ et donc $q\,'=u\,'v+uv\,'-1$.
Donc $q\,'(x)=1×\ln x+x×{1}/{x}-1=\ln x+1-1=\ln x$.

Réduire...

II Dérivée et sens de variation

Sens de variation

Soit I un intervalle.
$f\,'=0$ sur I si et seulement si $f$ est constante sur I.
$f\,'≥0$ sur I si et seulement si $f$ est croissante sur I.
$f\,'>0$ presque partout sur I si et seulement si $f$ est strictement croissante sur I.
$f\,'≤0$ sur I si et seulement si $f$ est décroissante sur I.
$f\,'<0$ presque partout sur I si et seulement si $f$ est strictement décroissante sur I.

Exemple

$f(x)=x^3+x^2-5x+3$ sur $\R$. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\R$.

Solution...
Corrigé

Il suffit de calculer $f\,'(x)$, de trouver son signe, et d'en déduire le sens de variation de $f$.
$f\,'(x)=3x^2+2x-5$.
$f\,'$ est un trinôme avec $a=3$, $b=2$ et $c=-5$.
$Δ=b^2-4ac=2^2-4×3×(-5)=64$.
$Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={-2-8}/{6}=-{5}/{3}$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={-2+8}/{6}=1$.
$a>0$. D'où le tableau suivant:

fig4
Réduire...

Savoir faire
A quoi peut servir la dérivée d'une fonction?
La valeur de la dérivée en un point permet d'y déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
Le signe de la dérivé permet de déterminer le sens de variation de la fonction.
Dériver une fonction permet de vérifier qu'elle est bien une primitive d'une autre fonction (voir cours sur les primitives).


III Dérivée et convexité

Définition

Une fonction dérivable sur un intervalle I est convexe si et seulement si
sa courbe est entièrement située au dessus de chacune de ses tangentes.
Une fonction dérivable sur un intervalle I est concave si et seulement si
sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

Exemple

La tangente $t$ à $\C_f$ en 2 traverse $\C_f$.
Déterminer graphiquement la convexité de la fonction $f$ définie sur [-1;5].

Solution...
Corrigé

Il est évident que $f$ est concave sur [-1;2], et convexe sur [2;5].

Remarquons que la convexité n'a aucun rapport avec le sens de variation de $f$.

Réduire...
fig7

Propriété

Fonctions vues en première
La fonction $x^2$ est convexe sur $\R$.
La fonction ${1}/{x}$ est convexe sur $]0;+∞[$, mais elle est concave sur $]-∞;0[$ .
La fonction $√x$ est concave sur $[0;+∞[$.
La fonction $e^x$ est convexe sur $\R$.

Fonction vue en terminale
La fonction $\ln x$ est concave sur $]0;+∞[$.

fig8

Propriété

Soit I un intervalle.

$f$ est convexe sur I si et seulement si $-f$ est concave sur I.

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.

$f$ est convexe sur I si et seulement si $f\,'$ est croissante sur I.
$f$ est concave sur I si et seulement si $f\,'$ est décroissante sur I.

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable deux fois sur un intervalle $]a;b[$.

Si $f"≥0$ sur $]a;b[$, alors $f$ est convexe sur sur $]a;b[$.
Si $f"≤0$ sur $]a;b[$, alors $f$ est concave sur sur $]a;b[$.
Cette propriété est valable si $a=-∞$ ou $b=+∞$.

Exemple

Soit $f$ définie sur $\ℝ$ par $(fx)=x^3-1.5x^2$.
Etudier la convexité de la fonction $f$ .
Soit $t$ la tangente à $\C_f$ en 2. Donner la position de $t$ par rapport à $\C_f$ sur l'intervalle $[0,5;+∞[$.

Solution...
Corrigé

$f\,'(x)=3x^2-3x$.
$f"(x)=6x-3$.
$6x-3$ est une fonction affine qui s'annule pour $x=0,5$.

De plus, son coefficient directeur 6 est strictement positif.
D'où le tableau de signes de $f"$ ci-contre.

fig10

Par conséquent, $f$ est concave sur $]-∞;0,5]$ et convexe sur $[0,5;+∞[$.

Comme $f$ est convexe sur $[0,5;+∞[$, $\C_f$ y est au dessus de ses tangentes.
En particulier, comme 2 est dans l'intervalle $[0,5;+∞[$, et que $t$ la tangente à $\C_f$ en 2, on en déduit que $\C_f$ est au dessus de $t$ sur l'intervalle $[0,5;+∞[$.

Réduire...

IV Dérivée et point d'inflexion

Définition

Le point A est un point d'inflexion de la courbe $\C_f$ lorsque $\C_f$ y traverse sa tangente $t$.

fig11

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable deux fois sur un intervalle $]a;b[$.

Si $f"$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors le point $A(c;f(c))$ est un point d'inflexion de $\C_f$.

Exemple

Soit $f$ définie sur $\ℝ$ par $f(x)=x^3$.
Montrer que $\C_f$ admet un point d'inflexion en 0.

Solution...

$f\,'(x)=3x^2$.
$f"(x)=6x$.

$6x$ est une fonction linéaire qui s'annule pour $x=0$.
Son coefficient directeur 6 est strictement positif.
D'où le tableau de signes de $f"$ ci-contre.

fig12

$f"$ s'annule en $0$ en changeant de signe, par conséquent, $\C_f$ admet un point d'inflexion en $0$.

Réduire...

A quoi peut servir la convexité d'une fonction $f$?
La convexité permet de déterminer la position de $\C_f$ par rapport à ses tangentes.
Le changement de convexité permet de repérer les points d'inflexion de $\C_f$.

Copyright 2013 - maths-bac.com - Toute reproduction interdite - Tous droits réservés.