Corrigé

1. Clique ICI pour revoir les lois exponentielles.
   
   Comme la durée de vie moyenne de ces composants est de 50 heures, on a: $\mathit{E}\left(\mathit{X}\right)=50$.
   Or, comme X suit une loi exponentielle de paramètre $\mathit{\lambda }$, on a: $\mathit{E}\left(\mathit{X}\right)=\frac{1}{\mathit{\lambda }}$.
   Et par là: $\frac{1}{\mathit{\lambda }}=50$, et donc: $\mathit{\lambda }=\frac{1}{50}=0,02$.
   Et finalement: $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=0,02{\mathit{e}}^{-0,02\mathit{x}}$ pour $\mathit{x}\ge 0$ et $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=0$ pour .


2. On calcule: $\mathit{p}\left(24\le \mathit{X}\right)={\mathit{e}}^{-0,02\times 24}\approx 0,619$.
   La probabilité qu'un composant fonctionne plus de 24 heures est d'environ 0,619.


3. On cherche ${\mathit{p}}_{24\le \mathit{X}}\left(24+12\le \mathit{X}\right)$.
   Méthode 1: Une variable aléatoire suivant une loi exponentielle est sans mémoire, Donc, pour tous $\mathit{t}$ réel et $\mathit{x}$ réel positif, on a: ${\mathit{p}}_{\mathit{t}\le \mathit{X}}\left(\mathit{t}+\mathit{x}\le \mathit{X}\right)=\mathit{p}\left(\mathit{x}\le \mathit{X}\right)$.
   Par exemple, le fait qu'un composant aie déjà fonctionné pendant 24 heures n'influe pas sur la probabilité qu'il fonctionne encore 12 heures.
   Ici, cela donne en particulier: ${\mathit{p}}_{24\le \mathit{X}}\left(24+12\le \mathit{X}\right)=\mathit{p}\left(12\le \mathit{X}\right)$.
   Et par là, la probabilité cherchée vaut: $\mathit{p}\left(12\le \mathit{X}\right)={\mathit{e}}^{-0,02\times 12}\approx 0,787$.
   
   Méthode 2: Clique ICI pour revoir les probabilités conditionnelles.
   
   on applique la formule concernant les probabilités conditionnelles.
   ${\mathit{p}}_{24\le \mathit{X}}\left(24+12\le \mathit{X}\right)=\frac{\mathit{p}\left(\left(24+12\le \mathit{X}\right)\cap \left(24\le \mathit{X}\right)\right)}{\mathit{p}\left(24\le \mathit{X}\right)}$.
   Et comme $\left(24+12\le \mathit{X}\right)\cap \left(24\le \mathit{X}\right)=\left(24+12\le \mathit{X}\right)$, on obtient: ${\mathit{p}}_{24\le \mathit{X}}\left(24+12\le \mathit{X}\right)=\frac{\mathit{p}\left(24+12\le \mathit{X}\right)}{\mathit{p}\left(24\le \mathit{X}\right)}$.
   Soit: ${\mathit{p}}_{24\le \mathit{X}}\left(24+12\le \mathit{X}\right)=\frac{{\mathit{e}}^{-0,02\times \left(24+12\right)}}{{\mathit{e}}^{-0,02\times 24}}={\mathit{e}}^{-0,02\times 12}\approx 0,787$.
   La probabilité qu'un composant fonctionne encore pendant 12 heures est d'environ 0,787.


4. Méthode 1: Nommons ${\mathit{X}}_{\mathit{i}}$ la durée de fonctionnement du composant $\mathit{i}$ pour $\mathit{i}$ entre 1 et 3.
   La durée de fonctionnement de l'appareil Tensio est inférieure ou égale à $\mathit{t}$ si deux composants ont cessé de fonctionner alors que le troisième fonctionne encore, ou si les 3 composants sont hors d'usage.
   On a donc: $\mathit{Y}\le \mathit{t}=({\mathit{X}}_1$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_2$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_3\ge \mathit{t})\cup ({\mathit{X}}_1$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_2\ge \mathit{t}\cap {\mathit{X}}_3$<$\mathit{t})$
                         $\cup ({\mathit{X}}_1\ge \mathit{t}\cap {\mathit{X}}_2$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_3$<$\mathit{t})\cup ({\mathit{X}}_1$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_2$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_3$<$\mathit{t})$.
   Les 4 cas sont incompatibles, et par là:
   $\mathit{p}\left(\mathit{Y}\le \mathit{t}\right)=\mathit{p}({\mathit{X}}_1$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_2$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_3\ge \mathit{t})+\mathit{p}({\mathit{X}}_1$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_2\ge \mathit{t}\cap {\mathit{X}}_3$<$\mathit{t})$
                  $+\mathit{p}({\mathit{X}}_1\ge \mathit{t}\cap {\mathit{X}}_2$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_3$<$\mathit{t})+\mathit{p}({\mathit{X}}_1$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_2$<$\mathit{t}\cap {\mathit{X}}_3$<$\mathit{t})$.
   Les composants fonctionnent de façons indépendantes, donc on obtient:
   $\mathit{p}\left(\mathit{Y}\le \mathit{t}\right)=\mathit{p}({\mathit{X}}_1$<$\mathit{t})\times \mathit{p}({\mathit{X}}_2$<$\mathit{t})\times \mathit{p}\left({\mathit{X}}_3\ge \mathit{t}\right)+\mathit{p}({\mathit{X}}_1$<$\mathit{t})\times \mathit{p}\left({\mathit{X}}_2\ge \mathit{t}\right)\times \mathit{p}({\mathit{X}}_3$<$\mathit{t})$
                  $+\mathit{p}\left({\mathit{X}}_1\ge \mathit{t}\right)\times \mathit{p}({\mathit{X}}_2$<$\mathit{t})\times \mathit{p}({\mathit{X}}_3$<$\mathit{t})+\mathit{p}({\mathit{X}}_1$<$\mathit{t})\times \mathit{p}({\mathit{X}}_2$<$\mathit{t})\times \mathit{p}({\mathit{X}}_3$<$\mathit{t})$.
   Soit: $\mathit{p}\left(\mathit{Y}\le \mathit{t}\right)=3(\mathit{p}(\mathit{X}$<$\mathit{t}){)}^2\mathit{p}\left(\mathit{X}\ge \mathit{t}\right)+(\mathit{p}(\mathit{X}$<$\mathit{t}){)}^3$.
   Soit: $\mathit{p}\left(\mathit{Y}\le \mathit{t}\right)=3{\left(1-{\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}\right)}^2{\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}+{\left(1-{\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}\right)}^3$.
   Soit: $\mathit{p}\left(\mathit{Y}\le \mathit{t}\right)=3\left(1-2{\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}+{\left({\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}\right)}^2\right){\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}+1-3{\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}+3{\left({\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}\right)}^2-{\left({\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}\right)}^3$.
   Soit: $\mathit{p}\left(\mathit{Y}\le \mathit{t}\right)=3{\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}-6{\mathit{e}}^{-0,04\mathit{t}}+3{\mathit{e}}^{-0,06\mathit{t}}+1-3{\mathit{e}}^{-0,02\mathit{t}}+3{\mathit{e}}^{-0,04\mathit{t}}-{\mathit{e}}^{-0,06\mathit{t}}$.
   Soit: $\mathit{p}\left(\mathit{Y}\le \mathit{t}\right)=1-3{\mathit{e}}^{-0,04\mathit{t}}+2{\mathit{e}}^{-0,06\mathit{t}}$.
   
   Méthode 2: Clique ICI pour revoir les lois binomiales.
   
   Soit S la variable aléatoire donnant le nombre de composants dont la durée de fonctionnement est inférieure à $\mathit{t}$.
   Les 3 composants fonctionnent de façons indépendantes et similaires.
   Pour chacun d'eux, la probabilité d'avoir une durée de fonctionnement inférieure à $\mathit{t}$ vaut: $\mathit{p}=\mathit{p}(\mathit{X}$<$\mathit{t})$.
   La variable aléatoire S suit donc une loi binomiale de paramètres $\mathit{n}=3$ et $\mathit{p}=\mathit{p}(\mathit{X}$<$\mathit{t})$.
   On cherche: $\mathit{p}\left(\mathit{S}\ge 2\right)$.
   On obtient: $\mathit{p}\left(\mathit{S}\ge 2\right)=\mathit{p}\left(\mathit{S}=2\right)+\mathit{p}\left(\mathit{S}=3\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right){\mathit{p}}^2{\left(1-\mathit{p}\right)}^1+\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right){\mathit{p}}^3{\left(1-\mathit{p}\right)}^0$
   Soit: $\mathit{p}\left(\mathit{S}\ge 2\right)=3(\mathit{p}(\mathit{X}$<$\mathit{t}){)}^2\mathit{p}\left(\mathit{X}\ge \mathit{t}\right)+(\mathit{p}(\mathit{X}$<$\mathit{t}){)}^3$.
   On reconnait le résultat obtenu avec la méthode 1, qui donne finalement: $\mathit{p}\left(\mathit{Y}\le \mathit{t}\right)=1-3{\mathit{e}}^{-0,04\mathit{t}}+2{\mathit{e}}^{-0,06\mathit{t}}$.


5. Clique ICI pour revoir une propriété importante des lois à densité.
   
   La densité $\mathit{g}$ de Y vérifie évidemment l'égalité $\mathit{g}\left(\mathit{t}\right)=0$ pour $\mathit{t}$<$0$.
   Par ailleurs, pour tout $\mathit{t}\ge 0$, on a: $$\mathit{p}\left(\mathit{Y}\le \mathit{t}\right)={\int }_0^{\mathit{t}}\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)\mathit{d}\mathit{x}$$
   Donc: $$1-3{\mathit{e}}^{-0,04\mathit{t}}+2{\mathit{e}}^{-0,06\mathit{t}}={\int }_0^{\mathit{t}}\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)\mathit{d}\mathit{x}$$
   Et, en dérivant par rapport à $\mathit{t}$, on obtient: $0-3\times \left(-0,04\right){\mathit{e}}^{-0,04\mathit{t}}+2\times \left(-0,06\right){\mathit{e}}^{-0,06\mathit{t}}=\mathit{g}\left(\mathit{t}\right)$.
   Soit: $\mathit{g}\left(\mathit{t}\right)=0,12\left({\mathit{e}}^{-0,04\mathit{t}}-{\mathit{e}}^{-0,06\mathit{t}}\right)$ pour $\mathit{t}\ge 0$.