Corrigé

1. Clique ICI pour revoir les lois exponentielles.
   
   Comme la durée de vie moyenne de ces composants est de 50 heures, on a: $E(X)=50$.
   Or, comme X suit une loi exponentielle de paramètre $λ$, on a: $E(X)={1}/{λ}$.
   Et par là: ${1}/{λ}=50$, et donc: $λ={1}/{50}=0,02$.
   Et finalement: $f(x)=0,02e^{-0,02x}$ pour $x≥0$ et $f(x)=0$ pour $x<0$.


2. On calcule: $p(24≤X)=e^{-0,02×24}≈0,619$.
   La probabilité qu'un composant fonctionne plus de 24 heures est d'environ 0,619.


3. On cherche $p_{24≤X}(24+12≤X)$.
   Méthode 1: Une variable aléatoire suivant une loi exponentielle est sans mémoire, Donc, pour tous $t$ réel et $x$ réel positif, on a: $p_{t≤X}(t+x≤X)=p(x≤X)$.
   Par exemple, le fait qu'un composant aie déjà fonctionné pendant 24 heures n'influe pas sur la probabilité qu'il fonctionne encore 12 heures.
   Ici, cela donne en particulier: $p_{24≤X}(24+12≤X)=p(12≤X)$.
   Et par là, la probabilité cherchée vaut: $p(12≤X)=e^{-0,02×12}≈0,787$.
   
   Méthode 2: Clique ICI pour revoir les probabilités conditionnelles.
   
   on applique la formule concernant les probabilités conditionnelles.
   $p_{24≤X}(24+12≤X)={p((24+12≤X)∩(24≤X))}/{p(24≤X)}$.
   Et comme $(24+12≤X)∩(24≤X)=(24+12≤X)$, on obtient: $p_{24≤X}(24+12≤X)={p(24+12≤X)}/{p(24≤X)}$.
   Soit: $p_{24≤X}(24+12≤X)={e^{-0,02×(24+12)}}/{e^{-0,02×24}}=e^{-0,02×12}≈0,787$.
   La probabilité qu'un composant fonctionne encore pendant 12 heures est d'environ 0,787.


4. Méthode 1: Nommons $X_i$ la durée de fonctionnement du composant $i$ pour $i$ entre 1 et 3.
   La durée de fonctionnement de l'appareil Tensio est inférieure ou égale à $t$ si deux composants ont cessé de fonctionner alors que le troisième fonctionne encore, ou si les 3 composants sont hors d'usage.
   On a donc: $Y≤t=(X_1$<$t∩X_2$<$t∩X_3≥t)∪(X_1$<$t∩X_2≥t∩X_3$<$t)$
                         $∪(X_1≥t∩X_2$<$t∩X_3$<$t)∪(X_1$<$t∩X_2$<$t∩X_3$<$t)$.
   Les 4 cas sont incompatibles, et par là:
   $p(Y≤t)=p(X_1$<$t∩X_2$<$t∩X_3≥t)+p(X_1$<$t∩X_2≥t∩X_3$<$t)$
                  $+p(X_1≥t∩X_2$<$t∩X_3$<$t)+p(X_1$<$t∩X_2$<$t∩X_3$<$t)$.
   Les composants fonctionnent de façons indépendantes, donc on obtient:
   $p(Y≤t)=p(X_1$<$t)×p(X_2$<$t)×p(X_3≥t)+p(X_1$<$t)×p(X_2≥t)×p(X_3$<$t)$
                  $+p(X_1≥t)×p(X_2$<$t)×p(X_3$<$t)+p(X_1$<$t)×p(X_2$<$t)×p(X_3$<$t)$.
   Soit: $p(Y≤t)=3(p(X$<$t))^2p(X≥t)+(p(X$<$t))^3$.
   Soit: $p(Y≤t)=3(1-e^{-0,02t})^2e^{-0,02t}+(1-e^{-0,02t})^3$.
   Soit: $p(Y≤t)=3(1-2e^{-0,02t}+(e^{-0,02t})^2)e^{-0,02t}+1-3e^{-0,02t}+3(e^{-0,02t})^2-(e^{-0,02t})^3$.
   Soit: $p(Y≤t)=3e^{-0,02t}-6e^{-0,04t}+3e^{-0,06t}+1-3e^{-0,02t}+3e^{-0,04t}-e^{-0,06t}$.
   Soit: $p(Y≤t)=1-3e^{-0,04t}+2e^{-0,06t}$.
   
   Méthode 2: Clique ICI pour revoir les lois binomiales.
   
   Soit S la variable aléatoire donnant le nombre de composants dont la durée de fonctionnement est inférieure à $t$.
   Les 3 composants fonctionnent de façons indépendantes et similaires.
   Pour chacun d'eux, la probabilité d'avoir une durée de fonctionnement inférieure à $t$ vaut: $p=p(X$<$t)$.
   La variable aléatoire S suit donc une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=p(X$<$t)$.
   On cherche: $p(S≥2)$.
   On obtient: $p(S≥2)=p(S=2)+p(S=3)=(\table 3; 2)p^2(1-p)^1+(\table 3; 3)p^3(1-p)^0$
   Soit: $p(S≥2)=3(p(X$<$t))^2p(X≥t)+(p(X$<$t))^3$.
   On reconnait le résultat obtenu avec la méthode 1, qui donne finalement: $p(Y≤t)=1-3e^{-0,04t}+2e^{-0,06t}$.


5. Clique ICI pour revoir une propriété importante des lois à densité.
   
   La densité $g$ de Y vérifie évidemment l'égalité $g(t)=0$ pour $t$<$0$.
   Par ailleurs, pour tout $t≥0$, on a: $$p(Y≤t)=∫_0^t g(x)dx$$
   Donc: $$1-3e^{-0,04t}+2e^{-0,06t}=∫_0^t g(x)dx$$
   Et, en dérivant par rapport à $t$, on obtient: $0-3×(-0,04)e^{-0,04t}+2×(-0,06)e^{-0,06t}=g(t)$.
   Soit: $g(t)=0,12(e^{-0,04t}-e^{-0,06t})$ pour $t≥0$.