Maths Complémentaires en Terminale

L'essentiel pour réussir

Limites de fonctions

A SAVOIR: le cours sur les limites de fonctions

Exercice 3

  1. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)={8}/{1+2e^{x}}$ pour tout réel $x$.
    Déterminer $\lim↙{x→+∞}g(x)$ et $\lim↙{x→-∞}g(x)$. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\C_g$.
  2. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(x+1)e^{x}$ pour tout réel $x$.
    Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
  3. Attention! Cette question utilise la fonction logarithme népérien.
    Soit $h$ la fonction définie par $h(x)={1+\ln x}/{x^2}$ sur $]0;+∞[$.
    Déterminer $\lim↙{{}^{x→0}}h(x)$.
Solution...
Corrigé
  1. $g(x)={8}/{1+2e^{x}}$.
    Comme $\lim↙{x→+∞}e^{x}=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}2=2$ et $2\>0$, on a: $\lim↙{x→+∞}2e^{x}=+∞$ (limite d'un produit)
    Et comme $\lim↙{x→+∞}1=1$, on a: $\lim↙{x→+∞}1+2e^{x}=+∞$ (limite d'une somme)
    Or: $\lim↙{x→+∞}8=8$
    D'où $\lim↙{x→+∞}g(x)=0$ (limite d'un quotient).

    Comme $\lim↙{x→-∞}e^x=0$, on obtient facilement: $\lim↙{x→-∞}g(x)={8}/{1+2×0}=8$.
    Donc la droite horizontale d'équation $y=8$ (parallèle à l'axe des abscisses) est une asymptote de la courbe $\C_g$ en $-∞$.


  2. $f(x)=(x+1)e^{x}$.
    Comme $\lim↙{x→+∞}x+1=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$,
    on obtient $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$. (limite d'un produit)

  3. $h(x)={1+\ln x}/{x^2}$.
    On a: $\lim↙{x→0}\ln x=-∞$, et donc: $\lim↙{x→0}1+\ln x=-∞$.
    Par ailleurs: $\lim↙{x→0}x^2=0$ et $x^2$ reste strictement positif.
    Donc $\lim↙{x→0}h(x)=-∞$ (limite d'un quotient).


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