Limites de fonctions
A SAVOIR: le cours sur les limites de fonctions
Exercice 3
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Soit $g$ la fonction définie par $g(x)={8}/{1+2e^{x}}$ pour tout réel $x$.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}g(x)$ et $\lim↙{x→-∞}g(x)$. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\C_g$. -
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(x+1)e^{x}$ pour tout réel $x$.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
- Attention! Cette question utilise la fonction logarithme népérien.
Soit $h$ la fonction définie par $h(x)={1+\ln x}/{x^2}$ sur $]0;+∞[$.
Déterminer $\lim↙{{}^{x→0}}h(x)$.
Corrigé
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$g(x)={8}/{1+2e^{x}}$.
Comme $\lim↙{x→+∞}e^{x}=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}2=2$ et $2\>0$, on a: $\lim↙{x→+∞}2e^{x}=+∞$ (limite d'un produit)
Et comme $\lim↙{x→+∞}1=1$, on a: $\lim↙{x→+∞}1+2e^{x}=+∞$ (limite d'une somme)
Or: $\lim↙{x→+∞}8=8$
D'où $\lim↙{x→+∞}g(x)=0$ (limite d'un quotient).
Comme $\lim↙{x→-∞}e^x=0$, on obtient facilement: $\lim↙{x→-∞}g(x)={8}/{1+2×0}=8$.
Donc la droite horizontale d'équation $y=8$ (parallèle à l'axe des abscisses) est une asymptote de la courbe $\C_g$ en $-∞$.
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$f(x)=(x+1)e^{x}$.
Comme $\lim↙{x→+∞}x+1=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$,
on obtient $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$. (limite d'un produit) -
$h(x)={1+\ln x}/{x^2}$.
On a: $\lim↙{x→0}\ln x=-∞$, et donc: $\lim↙{x→0}1+\ln x=-∞$.
Par ailleurs: $\lim↙{x→0}x^2=0$ et $x^2$ reste strictement positif.
Donc $\lim↙{x→0}h(x)=-∞$ (limite d'un quotient).