Arithmétique
A SAVOIR: le cours sur l'arithmétique
Exercice 2
Echauffement. On a: $x≡-7$ $[4]$ $⇔$ $x≡1$ $[4]$. Pourquoi?
1. Résoudre l'équation $x+9≡2$ $[4]$.
2. Résoudre l'équation $3x-1≡0$ $[4]$ en raisonnant par disjonction de cas.
3. Soit $a$ un entier relatif et $n$ un entier naturel au moins égal à 2.
On dit que $a$ admet un inverse modulo $n$ si et seulement si il existe un entier relatif $b$ tel que $ab≡1$ $[n]$.
Déterminer les inverses de 2 modulo 5.
Déterminer les inverses de 4 modulo 6.
4. Résoudre l'équation $(x-3)(x+2)≡2$ $[4]$.
Solution...Corrigé
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Echauffement. On calcule: $1-(-7)=8$, et ce nombre est un multiple de 4.
Donc: $x≡-7$ $[4]$ $⇔$ $x≡1$ $[4]$.
1.
$x+9≡2$ $[4]$ $⇔$ $x+9-9≡2-9$ $[4]$ $⇔$ $x≡-7$ $[4]$ $⇔$ $x≡1$ $[4]$
Les solutions cherchées sont donc les nombres de la forme $4k+1$ (où $k$ est un entier relatif).
On peut aussi écrire: $S=\{4k+1, k∈ℤ\}$
2. On note que: $3x-1≡0$ $[4]$ $⇔$ $3x≡1$ $[4]$
On a: soit $x≡0$ $[4]$, soit $x≡1$ $[4]$, soit $x≡2$ $[4]$ soit $x≡3$ $[4]$.
On peut alors dresser le tableau suivant:
Par exemple, si $x≡3$ $[4]$, alors $3x≡9$ $[4]$, soit: $3x≡1$ $[4]$
Ici, on veut: $3x≡1$ $[4]$
Par conséquent, d'après le tableau de congruences, le seul cas valide est: $x≡3$ $[4]$.
Les solutions cherchées sont donc les nombres de la forme $4k+3$ (où $k$ est un entier relatif).
On peut aussi écrire: $S=\{4k+3, k∈ℤ\}$
3. Les inverses de 2 modulo 5 sont, s'ils existent, les entiers relatifs $b$ tel que $2b≡1$ $[5]$.
On peut dresser le tableau suivant:
Par exemple, si $b≡3$ $[5]$, alors $2b≡6$ $[5]$, soit: $2b≡1$ $[5]$
Ici, on veut: $2b≡1$ $[5]$
Par conséquent, d'après le tableau de congruences, le seul cas valide est: $b≡3$ $[5]$.
Les solutions cherchées sont donc les nombres de la forme $5k+3$ (où $k$ est un entier relatif).
On peut aussi écrire: $S=\{5k+3, k∈ℤ\}$
Les inverses de 4 modulo 6 sont, s'ils existent, les entiers relatifs $b$ tel que $4b≡1$ $[6]$.
On peut dresser le tableau suivant:
Par exemple, si $b≡3$ $[6]$, alors $4b≡0$ $[6]$
Ici, on veut: $4b≡1$ $[6]$
D'après le tableau de congruences, c'est impossible. L'entier 4 n'admet pas d'inverse modulo 6 !
4.On peut dresser le tableau suivant:
Par exemple, si $x≡1$ $[4]$, alors $x-3≡2$ $[4]$ et: $x+2≡3$ $[4]$.
Et par là: $(x-3)(x+2)≡6$ $[4]$, soit: $(x-3)(x+2)≡2$ $[4]$
Ici, on veut: $(x-3)(x+2)≡2$ $[4]$
Par conséquent, d'après le tableau de congruences, les seuls cas valides sont: $x≡0$ $[4]$ et $x≡1$ $[4]$.
Les solutions cherchées sont donc les nombres de la forme $4k$ ou $4k+1$ (où $k$ est un entier relatif).
On peut aussi écrire: $S=\{4k, 4k+1, k∈ℤ\}$