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L'essentiel pour réussir

Arithmétique

A SAVOIR: le cours sur l'arithmétique

Exercice 2

Echauffement. On a: $x≡-7$ $[4]$    $⇔$   $x≡1$ $[4]$. Pourquoi?

1. Résoudre l'équation $x+9≡2$ $[4]$.

2. Résoudre l'équation $3x-1≡0$ $[4]$ en raisonnant par disjonction de cas.

3. Soit $a$ un entier relatif et $n$ un entier naturel au moins égal à 2.
On dit que $a$ admet un inverse modulo $n$ si et seulement si il existe un entier relatif $b$ tel que $ab≡1$ $[n]$.
Déterminer les inverses de 2 modulo 5.
Déterminer les inverses de 4 modulo 6.

4. Résoudre l'équation $(x-3)(x+2)≡0$ $[4]$.

Solution...
Corrigé

Clique ICI pour revoir le cours sur la congruence.

Echauffement. On calcule: $1-(-7)=8$, et ce nombre est un multiple de 4.
Donc: $x≡-7$ $[4]$    $⇔$   $x≡1$ $[4]$.

1. $x+9≡2$ $[4]$    $⇔$   $x+9-9≡2-9$ $[4]$    $⇔$   $x≡-7$ $[4]$    $⇔$   $x≡1$ $[4]$
Les solutions cherchées sont donc les nombres de la forme $4k+1$ (où $k$ est un entier relatif).
On peut aussi écrire: $S=\{4k+1, k∈ℤ\}$


2. On note que: $3x-1≡0$ $[4]$    $⇔$   $3x≡1$ $[4]$
On a:    soit $x≡0$ $[4]$,    soit $x≡1$ $[4]$,    soit $x≡2$ $[4]$   soit $x≡3$ $[4]$.
On peut alors dresser le tableau suivant:
fig1
Par exemple, si $x≡3$ $[4]$, alors $3x≡9$ $[4]$, soit: $3x≡1$ $[4]$
Ici, on veut: $3x≡1$ $[4]$
Par conséquent, d'après le tableau de congruences, le seul cas valide est: $x≡3$ $[4]$.
Les solutions cherchées sont donc les nombres de la forme $4k+3$ (où $k$ est un entier relatif).
On peut aussi écrire: $S=\{4k+3, k∈ℤ\}$


3. Les inverses de 2 modulo 5 sont, s'ils existent, les entiers relatifs $b$ tel que $2b≡1$ $[5]$.
On peut dresser le tableau suivant:
fig2
Par exemple, si $b≡3$ $[5]$, alors $2b≡6$ $[5]$, soit: $2b≡1$ $[5]$
Ici, on veut: $2b≡1$ $[5]$
Par conséquent, d'après le tableau de congruences, le seul cas valide est: $b≡3$ $[5]$.
Les solutions cherchées sont donc les nombres de la forme $5k+3$ (où $k$ est un entier relatif).
On peut aussi écrire: $S=\{5k+3, k∈ℤ\}$

Les inverses de 4 modulo 6 sont, s'ils existent, les entiers relatifs $b$ tel que $4b≡1$ $[6]$.
On peut dresser le tableau suivant:
fig3
Par exemple, si $b≡3$ $[6]$, alors $4b≡0$ $[6]$
Ici, on veut: $4b≡1$ $[6]$
D'après le tableau de congruences, c'est impossible. L'entier 4 n'admet pas d'inverse modulo 6 !



4.On peut dresser le tableau suivant:
fig4
Par exemple, si $x≡1$ $[4]$, alors $x-3≡2$ $[4]$ et: $x+2≡3$ $[4]$.
Et par là: $(x-3)(x+2)≡6$ $[4]$, soit: $(x-3)(x+2)≡2$ $[4]$
Ici, on veut: $(x-3)(x+2)≡2$ $[4]$
Par conséquent, d'après le tableau de congruences, les seuls cas valides sont: $x≡0$ $[4]$ et $x≡1$ $[4]$.
Les solutions cherchées sont donc les nombres de la forme $4k$ ou $4k+1$ (où $k$ est un entier relatif).
On peut aussi écrire: $S=\{4k, 4k+1, k∈ℤ\}$

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