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Arithmétique

A SAVOIR: le cours sur l'arithmétique

Exercice 7

  1. Résoudre l'équation $(E_1)$   $28x=9y$
  2. Résoudre l'équation $(E_2)$   $28x-9y=4$
  3. Résoudre l'équation $(E_3)$   $28x-6y=4$
  4. Résoudre l'équation $(E_4)$   $28x-6y=5$
Solution...
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  1. Résolvons l'équation $(E_1)$   $28x=9y$
    On a $28x=9y$, et par là: 28 divise le produit $9y$.
    Or, comme $28×1-9×3=1$, 28 et 9 sont premiers entre eux.
    Donc, d'après le théorème de Gauss, 28 divise $y$.
    Donc il existe un relatif $k$ tel que $y=28k$.

    Et par là, en reportant dans $28x=9y$, on obtient: $28x=9×28k$, soit: $x=9k$

    Et réciproquement, on vérifie que, pour tout relatif $k$, le couple $(9k;28k)$ convient.
    En effet, on a: $28×9k=9×28k$ .

    Finalement, les solutions de l'équation $(E_1)$ dans $ℤ$ sont les couples $(9k;28k)$ avec $k$ entier relatif.

  2. L'équation $(E_2)$   $28x-9y=4$ est une équation diophantienne.
    Comme $28×1-9×3=1$, $28$ et $-9$ sont premiers entre eux.
    Donc $PGCD(28;-9)=1$, et 4 en est évidemment un multiple.
    Par conséquent, $(E_2)$ admet des solutions.

    On va tout d'abord trouver une solution particulière de $(E_2)$.
    Comme $28×1-9×3=1$, on obtient: $28×1×4-9×3×4=1×4$, soit: $28×4-9×12=4$.
    Donc $(x_0;y_0)=(4;12)$ est une solution particulière de $(E_2)$.

    On a donc: $28x_0-9y_0=4$.
    Donc: $(E_2)$     $⇔$     $28x-9y=28x_0-9y_0$     $⇔$     $28(x-x_0)=9(y-y_0)$

    Or, on a vu à la question 1. que:  $28x=9y$     $⇔$     $x=9k$ et $y=28k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
    Donc: $(E_2)$     $⇔$     $x-x_0=9k$ et $y-y_0=28k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
    Soit: $(E_2)$     $⇔$     $x=4+9k$ et $y=12+28k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
    En conclusion, les solutions de l'équation $(E_2)$ dans $ℤ$ sont les couples $(4+9k;12+28k)$ avec $k$ entier relatif.

  3. L'équation $(E_3)$   $28x-6y=4$ est une équation diophantienne.
    Comme les diviseurs naturels 28 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28, et que ceux de $-6$ sont 1, 2, 3 et 6, il est clair que $PGCD(28;-6)=2$.
    Et 4 en est évidemment un multiple.
    Par conséquent, $(E_3)$ admet des solutions.

    On va tout d'abord trouver une solution particulière de $(E_3)$.
    Comme $PGCD(28;-6)=2$, il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $28×u-6×v=2$.
    On utilise le tableau de valeurs de la calculatrice avec la fonction $f(x)={1}/{28}(2+6x)$ pour des $x$ entiers relatifs.
    On recherche un $x$ pour lequel $f(x)$ est entier. On trouve, par exemple: $x=9$, qui donne $f(9)=2$.
    Par conséquent: si $u=2$ et $v=9$, alors: $28u-6v=2$.
    Soit: $28×2-6×9=2$, et donc: $28×2×2-6×9×2=2×2$, soit: $28×4-6×18=4$.
    Donc $(x_0;y_0)=(4;18)$ est une solution particulière de $(E_3)$.

    On a donc: $28x_0-6y_0=4$.
    Donc: $(E_3)$     $⇔$     $28x-6y=28x_0-6y_0$     $⇔$     $28(x-x_0)=6(y-y_0)$
    Soit: $(E_3)$    $⇔$     $14(x-x_0)=3(y-y_0)$
    Il est évident que 14 et 3 sont premiers entre eux. Et donc, en procédant comme dans la question 1., on obtient:
    $14x=3y$     $⇔$     $x=3k$ et $y=14k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
    Donc: $(E_3)$     $⇔$     $x-x_0=3k$ et $y-y_0=14k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
    Soit: $(E_3)$     $⇔$     $x=4+3k$ et $y=18+14k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
    En conclusion, les solutions de l'équation $(E_3)$ dans $ℤ$ sont les couples $(4+3k;18+14k)$ avec $k$ entier relatif.

  4. L'équation $(E_4)$   $28x-6y=5$ est une équation diophantienne.
    Or, on a vu que $PGCD(28;-6)=2$.
    Et 5 n'en est évidemment pas un multiple.
    Par conséquent, $(E_4)$ n'admet pas de solution.

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