Corrigé

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1. Résolvons l'équation $(E_1)$   $28x=9y$
   On a $28x=9y$, et par là: 28 divise le produit $9y$.
   Or, comme $28×1-9×3=1$, 28 et 9 sont premiers entre eux.
   Donc, d'après le théorème de Gauss, 28 divise $y$.
   Donc il existe un relatif $k$ tel que $y=28k$.
   
   Et par là, en reportant dans $28x=9y$, on obtient: $28x=9×28k$, soit: $x=9k$
   
   Et réciproquement, on vérifie que, pour tout relatif $k$, le couple $(9k;28k)$ convient.
   En effet, on a: $28×9k=9×28k$ .
   
   Finalement, les solutions de l'équation $(E_1)$ dans $ℤ$ sont les couples $(9k;28k)$ avec $k$ entier relatif.


2. L'équation $(E_2)$   $28x-9y=4$ est une équation diophantienne.
   Comme $28×1-9×3=1$, $28$ et $-9$ sont premiers entre eux.
   Donc $PGCD(28;-9)=1$, et 4 en est évidemment un multiple.
   Par conséquent, $(E_2)$ admet des solutions.
   
   On va tout d'abord trouver une solution particulière de $(E_2)$.
   Comme $28×1-9×3=1$, on obtient: $28×1×4-9×3×4=1×4$, soit: $28×4-9×12=4$.
   Donc $(x_0;y_0)=(4;12)$ est une solution particulière de $(E_2)$.
   
   On a donc: $28x_0-9y_0=4$.
   Donc: $(E_2)$     $⇔$     $28x-9y=28x_0-9y_0$     $⇔$     $28(x-x_0)=9(y-y_0)$
   
   Or, on a vu à la question 1. que:  $28x'=9y'$     $⇔$     $x'=9k$ et $y'=28k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
   Donc: $(E_2)$     $⇔$     $x-x_0=9k$ et $y-y_0=28k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
   Soit: $(E_2)$     $⇔$     $x=4+9k$ et $y=12+28k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
   En conclusion, les solutions de l'équation $(E_2)$ dans $ℤ$ sont les couples $(4+9k;12+28k)$ avec $k$ entier relatif.


3. L'équation $(E_3)$   $28x-6y=4$ est une équation diophantienne.
   Comme les diviseurs naturels 28 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28, et que ceux de $-6$ sont 1, 2, 3 et 6, il est clair que $PGCD(28;-6)=2$.
   Et 4 en est évidemment un multiple.
   Par conséquent, $(E_3)$ admet des solutions.
   
   On va tout d'abord trouver une solution particulière de $(E_3)$.
   Comme $PGCD(28;-6)=2$, il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $28×u-6×v=2$.
   On utilise le tableau de valeurs de la calculatrice avec la fonction $f(x)={1}/{28}(2+6x)$ pour des $x$ entiers relatifs.
   On recherche un $x$ pour lequel $f(x)$ est entier. On trouve, par exemple: $x=9$, qui donne $f(9)=2$.
   Par conséquent: si $u=2$ et $v=9$, alors: $28u-6v=2$.
   Soit: $28×2-6×9=2$, et donc: $28×2×2-6×9×2=2×2$, soit: $28×4-6×18=4$.
   Donc $(x_0;y_0)=(4;18)$ est une solution particulière de $(E_3)$.
   
   On a donc: $28x_0-6y_0=4$.
   Donc: $(E_3)$     $⇔$     $28x-6y=28x_0-6y_0$     $⇔$     $28(x-x_0)=6(y-y_0)$
   Soit: $(E_3)$    $⇔$     $14(x-x_0)=3(y-y_0)$
   Il est évident que 14 et 3 sont premiers entre eux. Et donc, en procédant comme dans la question 1., on obtient:
   $14x'=3y'$     $⇔$     $x'=3k$ et $y'=14k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
   Donc: $(E_3)$     $⇔$     $x-x_0=3k$ et $y-y_0=14k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
   Soit: $(E_3)$     $⇔$     $x=4+3k$ et $y=18+14k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
   En conclusion, les solutions de l'équation $(E_3)$ dans $ℤ$ sont les couples $(4+3k;18+14k)$ avec $k$ entier relatif.
   Remarque.
   Comme $4=3+1$, on note que: $4+3k=1+3(k+1)$
   Et, comme $18=14+4$, on a par ailleurs: $18+14k=4+14(k+1)$
   Or, quand $k$ décrit $ℤ$, $k+1$ le décrit également.
   Par conséquent, en posant $k+1=k'$, on peut affirmer que:
   les solutions de l'équation $(E_3)$ dans $ℤ$ sont les couples $(1+3k';4+14k')$ avec $k'$ entier relatif.
   


4. L'équation $(E_4)$   $28x-6y=5$ est une équation diophantienne.
   Or, on a vu que $PGCD(28;-6)=2$.
   Et 5 n'en est évidemment pas un multiple.
   Par conséquent, $(E_4)$ n'admet pas de solution.
   
   
5. Un couple $(x;y)$ convenable vérifie $(E_5)$ : $55x+65y=950$, avec $x$ et $y$ entiers naturels.
   Nous allons d'abord chercher $u$ et $v$ dans $ℤ$.
   L'équation $(E_5)$ est une équation diophantienne.
   Comme les diviseurs naturels 55 sont 1, 5, 11 et 55, et que ceux de $65$ sont 1, 5, 13 et 65, il est clair que $PGCD(55;65)=5$.
   Et 950 en est évidemment un multiple.
   Par conséquent, $(E_5)$ admet des solutions.
   
   On va tout d'abord trouver une solution particulière de $(E_5)$.
   Comme $PGCD(55;65)=5$, il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $55×u+65×v=5$.
   On utilise le tableau de valeurs de la calculatrice avec la fonction $f(x)={1}/{55}(5-65x)$ pour des $x$ entiers relatifs.
   On recherche un $x$ pour lequel $f(x)$ est entier. On trouve, par exemple: $x=6$, qui donne $f(6)=-7$.
   Par conséquent: si $u=-7$ et $v=6$, alors: $55u+65v=5$.
   Soit: $55×(-7)+65×6=5$, et donc: $55×(-7)×190+65×6×190=5×190$, soit: $55×(-1330)+65×1140=950$.
   Donc $(x_0;y_0)=(-1330;1140)$ est une solution particulière de $(E_5)$.
   
   On a donc: $55x_0+65y_0=950$.
   Donc: $(E_5)$     $⇔$     $55x+65y=55x_0+65y_0$     $⇔$     $55(x-x_0)=-65(y-y_0)$
   Soit: $(E_5)$    $⇔$     $11(x-x_0)=-13(y-y_0)$
   Il est évident que $11$ et $-13$ sont premiers entre eux. Et donc, en procédant comme dans la question 1., on obtient:
   $11x'=-13y'$     $⇔$     $x'=-13k$ et $y'=11k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
   Donc: $(E_5)$     $⇔$     $x-x_0=-13k$ et $y-y_0=11k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
   Soit: $(E_3)$     $⇔$     $x=-1330-13k$ et $y=1140+11k$ (où $k$ est un relatif quelconque).
   En conclusion, les solutions de l'équation $(E_5)$ dans $ℤ$ sont les couples $(-1330-13k;1140+11k)$ avec $k$ entier relatif.
   Mais ici, on ne s'intéresse qu'aux couples d'entiers naturels.
   On a donc: $-1330-13k≥0$ et $1140+11k≥0$
   Soit: $-{1330}/{13}≥k$ et $k≥-{1140}/{11}$
   Or: $-{1330}/{13}≈-102,3$ et $-{1140}/{11}≈-103,6$
   Et par là: $k=-103$.
   Une seule valeur de $k$ convient, ce qui donne un seul couple solution.
   Comme $-1330-13×(-103)=9$ et $1140+11×(-103)=7$, il s'agit de $(9;7)$.
   Le confiseur doit utiliser 9 boîtes A et 7 boîtes B, et il n'a pas d'autre solution.