Corrigé

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1. On pose $x=n(n^4-1)$.
   On a: soit $n≡0\,[2]$, soit $n≡1\,[2]$.
   Si $n≡0\,[2]$, alors: $n×(n^4-1)≡0×(n^4-1)\,[2]$, c'est à dire: $x≡0\,[2]$
   Si $n≡1\,[2]$, alors: $n^4-1≡1^4-1\,[2]$, et donc: $n×(n^4-1)≡n×0\,[2]$, c'est à dire: $x≡0\,[2]$
   Donc, dans tous les cas, $x$ est divisible par 2.
   
   Montrons que $x$ est divisible par 5.
   On a: soit $n≡0\,[5]$, soit $n≡1\,[5]$,...,soit $n≡4\,[5]$.
   On peut dresser le tableau suivant:
   
   Par exemple, si $n≡3$ $[5]$, alors $n^4≡81$ $[45]$, soit: $n^4≡1$ $[5]$ ...etc...
   D'après le tableau de congruences, on a, dans tous les cas: $x≡0\,[5]$
   Donc $x$ est bien divisible par 5.
   
   Finalement, 2 et 5 divisent $x$.
   Or, comme $2×3+5×(-1)=1$, les entiers $2$ et $5$ sont premiers entre eux.
   Donc, d'après le corollaire du théorème de Gauss , $x$ est divisible par $2×5=10$.   c.q.f.d.


2. On pose $x=11n^2(n^2+11)$.
   On a: soit $n≡0\,[6]$, soit $n≡1\,[6]$,...,soit $n≡5\,[6]$.
   On peut dresser le tableau suivant:
   
   D'après le tableau de congruences, on a, dans tous les cas: $x≡0\,[6]$
   Donc $x$ est bien divisible par 6.
   
   Or, comme $x=11n^2(n^2+11)$, et que $n$ est entier, il est évident que $x$ est divisible par 11.
   
   Finalement, 6 et 11 divisent $x$.
   Or, comme $6×2+5×(-2)=1$, les entiers $6$ et $11$ sont premiers entre eux.
   Donc, d'après le corollaire du théorème de Gauss , $x$ est divisible par $6×11=66$.   c.q.f.d.