Nombres complexes
A SAVOIR: le cours sur les complexes
Exercice 10
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O, I, J)$.
On pose: $z_0=1$ et $z_1={√{30}}/{6}+i{√{10}}/{6}$
1. Montrer que: ${√{30}}/{6}+i{√{10}}/{6}={√{10}}/{3}e^{i{π}/{6}}$
2. On remarque alors que: $z_{1}={√{10}}/{3}e^{i({π}/{6})^1}z_0$, avec $z_0=1$
On définit alors la suite $(z_n)$ par la formule de récurrence:
$z_{n+1}={√{10}}/{3}e^{i({π}/{6})^{n+1}}z_n$ (pour tout entier naturel $n$).
Soit alors $A_n$ le point d'affixe $z_n$.
a. Donner la forme exponentielle de $z_2$.
b. Vérifier que: $\Re z_2≈0,776$ et que: $\Im z_2≈0,795$.
c. Représenter graphiquement les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$.
3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a: $({π}/{6})^{n+1}+π{1-({π}/{6})^{n}}/{6-π}=π{1-({π}/{6})^{n+1}}/{6-π}$
4. Démontrer par récurrence que:
pour tout entier naturel $n$ non nul: $z_{n}=({√{10}}/{3})^n e^{πi{1-({π}/{6})^{n}}/{6-π}}$.
5. On pose: $r_n=|z_n|$ pour tout entier naturel $n$.
Déterminer la nature de la suite $(r_n)$, son sens de variation, et sa limite.
6. On pose: $a_n=\arg z_n$ pour tout entier naturel $n$.
Déterminer la limite $l$ de la suite $(a_n)$.
7. Tracer la droite $d$ passant par l'origine et de coefficient directeur ${\sin l}/{\cos l}$
Solution...Corrigé
1. On a: ${√{10}}/{3}(\cos {π}/{6}+i\sin {π}/{6})=={√{10}}/{3}({√{3}}/{2}+i {1}/{2})={√{30}}/{6}+i {√{10}}/{6}$
On a donc montré que: ${√{30}}/{6}+i{√{10}}/{6}={√{10}}/{3}e^{i{π}/{6}}$
2.
a. On a: $z_{2}={√{10}}/{3}e^{i({π}/{6})^2}z_1={√{10}}/{3}e^{i({π}/{6})^2}{√{10}}/{3}e^{i{π}/{6}}=({√{10}}/{3})^2e^{i(({π}/{6})^2+{π}/{6})}$
C'est la forme exponentielle de $z_2$.
b. Sa forme algébrique est alors: $({√{10}}/{3})^2\cos(({π}/{6})^2+{π}/{6})+i({√{10}}/{3})^2\sin(({π}/{6})^2+{π}/{6})$
On a alors $\Re z_2={10}/{9}\cos(({π}/{6})^2+{π}/{6})≈0,776$ et $\Im z_2={10}/{9}\sin(({π}/{6})^2+{π}/{6})≈0,795$.
c. Nous avons représenté ci-dessous les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, et quelques points supplémentaires.
3.
Posons $S=({π}/{6})^{n+1}+π{1-({π}/{6})^{n}}/{6-π}$
Pour alléger le calcul, exprimons tout d'abord $S$ en fonction de $q={π}/{6}$.
En divisant numérateur et dénominateur par 6, on obtient:
$S=({π}/{6})^{n+1}+{π}/{6}{1-({π}/{6})^{n}}/{1-{π}/{6}}$
Soit: $S=q^{n+1}+q{1-q^{n}}/{1-q}$
On réduit au même dénominateur: $S= {q^{n+1}(1-q)}/{1-q}+{q(1-q^{n})}/{1-q}$
Donc: $S= {q^{n+1}-q^{n+2}+q-q^{n+1}}/{1-q}$
Donc: $S= {q-q^{n+2}}/{1-q}$
Donc: $S= q{1-q^{n+1}}/{1-q}$
Et donc, comme $q={π}/{6}$, on obtient finalement:
$S= {π}/{6}{1-({π}/{6})^{n+1}}/{1-{π}/{6}}$
Soit, en multipliant numérateur et dénominateur par 6:
$S= π{1-({π}/{6})^{n+1}}/{6-π}$
4. Soit $P_n$ la propriété: $z_{n}=({√{10}}/{3})^n e^{πi{1-({π}/{6})^{n}}/{6-π}}$.
Démontrons par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
Clique ICI pour revoir l'essentiel sur la démonstration par récurrence.
Initialisation:
On a: $({√{10}}/{3})^1 e^{πi{1-({π}/{6})^{1}}/{6-π}}={√{10}}/{3} e^{{π}/{6}i{1-{π}/{6}}/{1-{π}/{6}}}={√{10}}/{3} e^{i{π}/{6}}=z_1$, et par là: $P_{1}$ est vraie.
Hérédité:
Soit $n$ un entier naturel non nul, supposons que $P_n$ soit vraie.
On a donc: $z_{n}=({√{10}}/{3})^n e^{πi{1-({π}/{6})^{n}}/{6-π}}$
Comme $z_{n+1}={√{10}}/{3}e^{i({π}/{6})^{n+1}}z_n$, on obtient: $z_{n+1}={√{10}}/{3}e^{i({π}/{6})^{n+1}}({√{10}}/{3})^n e^{πi{1-({π}/{6})^{n}}/{6-π}}$
Soit: $z_{n+1}=({√{10}}/{3})^{n+1}e^{i(({π}/{6})^{n+1}+π{1-({π}/{6})^{n}}/{6-π})}$
Et donc, d'après le 3., on obtient: $z_{n+1}=({√{10}}/{3})^{n+1}e^{iπ{1-({π}/{6})^{n+1}}/{6-π}}$
Donc $P_{n+1}$ est vraie.
Conclusion: pour tout naturel $n$ non nul, $z_{n}=({√{10}}/{3})^n e^{πi{1-({π}/{6})^{n}}/{6-π}}$.
5. On pose: $r_n=|z_n|$ pour tout entier naturel $n$.
Donc, d'après le 4.: $r_n=({√{10}}/{3})^n$ pour tout naturel $n$ non nul.
Notons que l'expression reste valide pour $n=0$.
Donc la suite $(r_n)$ est géométrique de raison $q={√{10}}/{3}$ et de premier terme $r_0=1$.
Comme $q>0$, la suite $(q^n)$ est strictement croissante.
C'est à dire que $(r_n)$ est strictement croissante.
Comme $q>0$, $\lim↙{n→+∞}q^n=+∞$.
C'est à dire que $\lim↙{n→+∞}r_n=+∞$.
6. On pose: $a_n=\arg z_n$ pour tout entier naturel $n$.
Donc, d'après le 4.: $a_n=π{1-({π}/{6})^{n}}/{6-π}$ pour tout naturel $n$ non nul.
Comme $0<{π}/{6}<1$, on obtient: $\lim↙{n→+∞}a_n=π{1-0}/{6-π}={π}/{6-π}$.
Finalement: $l={π}/{6-π}$
7. La droite $d$ passant par l'origine et de coefficient directeur ${\sin l}/{\cos l}≈1,96$ est tracée en vert sur le dessin précédent.