Corrigé

1. Clique ICI pour revoir le cours sur les équations du second degré à coefficients réels.
Equation (1)
$z^2+z+1=0$ est un trinôme à coefficients réels.
Avec les notations usuelles:   $a=1$, $b=1$ et $c=1$.
$Δ=b^2-4ac=1-4=-3$.
$Δ\text"<"0$, donc l'équation a 2 solutions:
les complexes conjugués ${-b-i√{-Δ}}/{2a}={-1-i√{3}}/{2}=-{1}/{2}-{√{3}}/{2}i$      et        ${-b+i√{-Δ}}/{2a}=-{1}/{2}+{√{3}}/{2}i$.
Et par là: $\S_1=\{-{1}/{2}-{√{3}}/{2}i; -{1}/{2}+{√{3}}/{2}i\}$.

2. Clique ICI pour revoir le cours sur les équations du second degré à coefficients réels.
Equation (2)
On rappelle que, pour résoudre une équation, il suffit d'annuler l'un des ses membres (ce qui est fait), puis de factoriser l'autre membre (ce que nous allons faire).
(2) $⇔$ $z(z^2-2z+2)=0$ $⇔$ $z=0$ ou $z^2-2z+2=0$
$z^2-2z+2$ est un trinôme à coefficients réels.
Avec les notations usuelles:   $a=1$, $b=-2$ et $c=2$.
$Δ=4-8=-4$.
$Δ\text"<"0$, donc le trinôme a 2 racines complexes conjuguées:
${-b-i√{-Δ}}/{2a}={2-i√{4}}/{2}=1-i$      et        ${-b+i√{-Δ}}/{2a}=1+i$.
Finalement: (2) $⇔$ $z=0$ ou $z=1-i$ ou $z=1+i$
Et par là: $\S_2=\{0\,;\,1-i\,;\,1+i\}$.

3. Equation (3)
(3) $⇔$ $z(z^2+z-5)=0$ $⇔$ $z=0$ ou $z^2+z-5=0$.
$z^2+z-5$ est un trinôme à coefficients réels.
Avec les notations usuelles:$a=1$, $b=1$ et $c=-5$.
$Δ=b^2-4ac=1-(-20)=21$.
$Δ\text">"0$, donc le trinôme a 2 racines:
les réels ${-b-√Δ}/{2a}={-1-√{21}}/{2}$      et       ${-b+√Δ}/{2a}={-1+√{21}}/{2}$.
Donc: $\S_3=\{0;{-1-√{21}}/{2};{-1+√{21}}/{2}\}$.
On a alors: $z^3+z^2-5z=z(z-{-1-√{21}}/{2})(z-{-1+√{21}}/{2})=z(z+{1+√{21}}/{2})(z+{1-√{21}}/{2})$.

4. Equation (4)
$3z^2+7$ est un trinôme à coefficients réels.
Méthode 1: Avec les notations usuelles:$a=3$, $b=0$ et $c=7$.
$Δ=b^2-4ac=0-84=-84$.
$Δ\text"<"0$, donc l'équation a 2 solutions:
les complexes conjugués ${-b-i√{-Δ}}/{2a}={-i√{84}}/{6}={-i2√{21}}/{6}={-i√{21}}/{3}$      et        ${-b+i√{-Δ}}/{2a}={i√{21}}/{3}$.
Méthode 2: (2) $⇔$ $z^2={-7}/{3}$ $⇔$ $z={-i√{{7}/{3}$ ou $z={i√{{7}/{3}$.
Or: $√{{7}/{3}}=√{{21}/{9}}={√{21}}/{√{9}}={√{21}}/{3}$.
Donc, quelque soit la méthode, on obtient: $\S_4=\{{-i√{21}}/{3};{i√{21}}/{3}\}$.
On a alors: $3z^2+7=3(z-({-i√{21}}/{3}))(z-{i√{21}}/{3})=3(z+{i√{21}}/{3})(z-{i√{21}}/{3})$.