Corrigé

Méthode: isoler $\mathit{z}$ si cela est possible.
Sinon, annuler le membre de droite et tenter de factoriser à gauche.
En cas de difficulté, penser à écrire $\mathit{z}$ sous forme algébrique.

1. On note que $\mathit{z}$ ne peut être nul.
$\frac{1}{\mathit{z}}=-5+3\mathit{i}$ $\iff$ $\mathit{z}=\frac{1}{-5+3\mathit{i}}=\frac{1\times \left(-5-3\mathit{i}\right)}{\left(-5+3\mathit{i}\right)\times \left(-5-3\mathit{i}\right)}$ (on a utilisé la forme conjuguée)
Soit: $\frac{1}{\mathit{z}}=-5+3\mathit{i}$ $\iff$ $\mathit{z}=\frac{-5-3\mathit{i})}{{\left(-5\right)}^2-{\left(3\mathit{i}\right)}^2}=\frac{-5-3\mathit{i})}{25+9}$
Soit: $\frac{1}{\mathit{z}}=-5+3\mathit{i}$ $\iff$ $\mathit{z}=\frac{-5}{34}-\frac{3}{34}\mathit{i}$
Et par là: $\mathrm{S}=\left\{\frac{-5}{34}-\frac{3}{34}\mathit{i}\right\}$.

2. $\left(\mathit{i}-1\right)\mathit{z}=3+2\mathit{i}$ $\iff$ $\mathit{z}=\frac{3+2\mathit{i}}{\mathit{i}-1}=\frac{\left(3+2\mathit{i}\right)\times \left(-1-\mathit{i}\right)}{\left(\mathit{i}-1\right)\times \left(-1-\mathit{i}\right)}$ (on a utilisé la forme conjuguée)
Soit: $\left(\mathit{i}-1\right)\mathit{z}=3+2\mathit{i}$ $\iff$ $\mathit{z}=\frac{-3-3\mathit{i}-2\mathit{i}-2{\mathit{i}}^2}{{\left(-1\right)}^2-{\mathit{i}}^2}$
Soit: $\left(\mathit{i}-1\right)\mathit{z}=3+2\mathit{i}$ $\iff$ $\mathit{z}=\frac{-3-5\mathit{i}+2}{1+1}$
Soit: $\left(\mathit{i}-1\right)\mathit{z}=3+2\mathit{i}$ $\iff$ $\mathit{z}=\frac{-1}{2}-\frac{5}{2}\mathit{i}$
Et par là: $\mathrm{S}=\left\{-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\mathit{i}\right\}$.

3. ${\mathit{z}}^2=\mathit{i}\mathit{z}$ $\iff$ ${\mathit{z}}^2-\mathit{i}\mathit{z}=0$ $\iff$ $\mathit{z}\left(\mathit{z}-\mathit{i}\right)=0$ $\iff$ $\mathit{z}=0$ ou $\mathit{z}-\mathit{i}=0$
Soit: ${\mathit{z}}^2=\mathit{i}\mathit{z}$ $\iff$ $\mathit{z}=0$ ou $\mathit{z}=\mathit{i}$
Et par là: $\mathrm{S}=\left\{0;\mathit{i}\right\}$.

4.a. Soient $\mathit{a}$ et $\mathit{b}$ réels. On a: ${\mathit{a}}^2-{\mathit{b}}^2-\mathit{a}+\mathit{b}=\left(\mathit{a}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)-\left(\mathit{a}-\mathit{b}\right)=\left(\mathit{a}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{a}+\mathit{b}-1\right)$.

4.b. Clique ICI pour revoir le cours sur l'égalité de 2 complexes.
Equation (${\mathit{E}}_1$)
Les coefficients du trinôme ${\mathit{z}}^2-\left(1+\mathit{i}\right)\mathit{z}+\mathit{i}$ ne sont pas tous réels.
On écrit $\mathit{z}$ sous forme algébrique: $\mathit{z}=\mathit{a}+\mathit{i}\mathit{b}$, avec $\mathit{a}$ et $\mathit{b}$ réels.
(${\mathit{E}}_1$) $\iff$ ${\left(\mathit{a}+\mathit{i}\mathit{b}\right)}^2-\left(1+\mathit{i}\right)\left(\mathit{a}+\mathit{i}\mathit{b}\right)+\mathit{i}=0$ $\iff$ ${\mathit{a}}^2+2\mathit{a}\mathit{b}\mathit{i}+{\mathit{b}}^2{\mathit{i}}^2-\mathit{a}-\mathit{i}\mathit{b}-\mathit{i}\mathit{a}-{\mathit{i}}^2\mathit{b}+\mathit{i}=0$
Soit: (${\mathit{E}}_1$) $\iff$ ${\mathit{a}}^2+2\mathit{a}\mathit{b}\mathit{i}-{\mathit{b}}^2-\mathit{a}-\mathit{i}\mathit{b}-\mathit{i}\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{i}=0$ $\iff$ ${\mathit{a}}^2-{\mathit{b}}^2-\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{i}\left(2\mathit{a}\mathit{b}-\mathit{b}-\mathit{a}+1\right)=0$
Par unicité de la forme algébrique, on obtient:
(${\mathit{E}}_1$) $\iff$ $\{\begin{array}{c}{\mathit{a}}^2-{\mathit{b}}^2-\mathit{a}+\mathit{b}=0\\ 2\mathit{a}\mathit{b}-\mathit{b}-\mathit{a}+1=0\end{array}$
On rappelle que, pour résoudre une équation, il suffit d'annuler l'un des ses membres (ce qui est fait), puis de factoriser l'autre membre (ce que nous allons faire en utilisant l'égalité du 1.a.).
(${\mathit{E}}_1$) $\iff$ $\{\begin{array}{c}\left(\mathit{a}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{a}+\mathit{b}-1\right)=0\\ 2\mathit{a}\mathit{b}-\mathit{b}-\mathit{a}+1=0\end{array}$

(${\mathit{E}}_1$) $\iff$

On exprime $\mathit{a}$ en fonction de $\mathit{b}$ dans les premières lignes, et on substitue dans les secondes.
Soit: (${\mathit{E}}_1$) $\iff$ $\{\begin{array}{c}\mathit{a}=\mathit{b}\\ 2{\mathit{b}}^2-\mathit{b}-\mathit{b}+1=0\end{array}$    ou $\{\begin{array}{c}\mathit{a}=1-\mathit{b}\\ -2\left(1-\mathit{b}\right)\mathit{b}-\mathit{b}-1+\mathit{b}+1=0\end{array}$

Soit: (${\mathit{E}}_1$) $\iff$ $\{\begin{array}{c}\mathit{a}=\mathit{b}\\ 2{\mathit{b}}^2-2\mathit{b}+1=0\end{array}$    ou $\{\begin{array}{c}\mathit{a}=1-\mathit{b}\\ -2\mathit{b}+2{\mathit{b}}^2-\mathit{b}-1+\mathit{b}+1=0\end{array}$

Soit: (${\mathit{E}}_1$) $\iff$ $\{\begin{array}{c}\mathit{a}=\mathit{b}\\ 2{\mathit{b}}^2-2\mathit{b}+1=0\end{array}$    ou $\{\begin{array}{c}\mathit{a}=1-\mathit{b}\\ 2{\mathit{b}}^2-2\mathit{b}=0\end{array}$

Examinons le système de gauche.
Dans la seconde ligne, $2{\mathit{b}}^2-2\mathit{b}+1$ est un trinôme à coefficients réels.
$\mathit{\Delta }=4-8=-4$.
, donc le trinôme n'a pas de racine réelle.
On rappelle que l'on cherche $\mathit{z}$ sous la forme $\mathit{a}+\mathit{i}\mathit{b}$ avec $\mathit{a}$ et $\mathit{b}$ réels.
Donc le système de gauche n'a pas de solution.

Examinons le système de droite.
Dans la seconde ligne: $2{\mathit{b}}^2-2\mathit{b}=0$ $\iff$ $2\mathit{b}\left(\mathit{b}-1\right)=0$ $\iff$ $\mathit{b}=0$ ou $\mathit{b}=1$
On reporte dans la première ligne:       $\mathit{b}=0$ donne $\mathit{a}=1$.          $\mathit{b}=1$ donne $\mathit{a}=0$.
Finalement: (${\mathit{E}}_1$) $\iff$ $\{\begin{array}{c}\mathit{a}=1\\ \mathit{b}=0\end{array}$ ou $\{\begin{array}{c}\mathit{a}=0\\ \mathit{b}=1\end{array}$
Et par là: ${\mathrm{S}}_1=\left\{1;\mathit{i}\right\}$.

Méthode 2. On rappelle que, pour résoudre une équation, il suffit d'annuler l'un des ses membres (ce qui est fait), puis de factoriser l'autre membre.
On a: (${\mathit{E}}_1$) $\iff$ ${\mathit{z}}^2-\mathit{z}-\mathit{i}\mathit{z}+\mathit{i}=0$ $\iff$ $\mathit{z}\left(\mathit{z}-1\right)-\mathit{i}\left(\mathit{z}-1\right)=0$ $\iff$ $\left(\mathit{z}-1\right)\left(\mathit{z}-\mathit{i}\right)=0$
Soit: (${\mathit{E}}_1$) $\iff$ $\mathit{z}-1=0$ ou $\mathit{z}-\mathit{i}=0$
Soit: (${\mathit{E}}_1$) $\iff$ $\mathit{z}=1$ ou $\mathit{z}=\mathit{i}$
Et par là: ${\mathrm{S}}_1=\left\{1;\mathit{i}\right\}$.

Méthode 3. On peut aussi utiliser une méthode (hors programme) qui utilise la propriété suivante.
L'équation $\mathit{a}{\mathit{z}}^2+\mathit{b}\mathit{z}+\mathit{c}=0$ (où $\mathit{a}$, $\mathit{b}$ et $\mathit{c}$ sont 3 complexes avec $\mathit{a}\ne 0$) admet pour discriminant $\mathit{\Delta }={\mathit{b}}^2-4\mathit{a}\mathit{c}$; elle a 2 racines ${\mathit{z}}_1$ et ${\mathit{z}}_2$ définies par:
${\mathit{z}}_1=\frac{-\mathit{b}-\mathit{\delta }}{2\mathit{a}}$ et ${\mathit{z}}_2=\frac{-\mathit{b}+\mathit{\delta }}{2\mathit{a}}$, où $\mathit{\delta }$ est une racine carrée de $\mathit{\Delta }$.
Ici: $\mathit{a}=1$, $\mathit{b}=-1-\mathit{i}$ et $\mathit{c}=\mathit{i}$
$\mathit{\Delta }={\left(-1-\mathit{i}\right)}^2-4\mathit{i}=-2\mathit{i}$
$\mathit{\delta }=1-\mathit{i}$ convient (car ${\mathit{\delta }}^2=\mathit{\Delta }$), et donne: ${\mathit{z}}_1=\frac{1+\mathit{i}-1+\mathit{i}}{2=\mathit{i}}$ et ${\mathit{z}}_2=\frac{1+\mathit{i}+1-\mathit{i}}{2}=1$
Et par là: ${\mathrm{S}}_1=\left\{1;\mathit{i}\right\}$.

5. Equation (${\mathit{E}}_2$)
Les coefficients du trinôme ${\mathit{z}}^2+\mathit{i}\mathit{z}+3$ ne sont pas tous réels.
On écrit $\mathit{z}$ sous forme algébrique: $\mathit{z}=\mathit{a}+\mathit{i}\mathit{b}$, avec $\mathit{a}$ et $\mathit{b}$ réels.
(${\mathit{E}}_2$) $\iff$ ${\left(\mathit{a}+\mathit{i}\mathit{b}\right)}^2+\mathit{i}\left(\mathit{a}+\mathit{i}\mathit{b}\right)+3=0$ $\iff$ ${\mathit{a}}^2+2\mathit{a}\mathit{b}\mathit{i}+{\mathit{b}}^2{\mathit{i}}^2+\mathit{a}\mathit{i}+\mathit{b}{\mathit{i}}^2+3=0$
Soit: (${\mathit{E}}_2$) $\iff$ ${\mathit{a}}^2+2\mathit{a}\mathit{b}\mathit{i}-{\mathit{b}}^2+\mathit{a}\mathit{i}-\mathit{b}+3=0$ $\iff$ ${\mathit{a}}^2-{\mathit{b}}^2-\mathit{b}+3+\mathit{i}\left(2\mathit{a}\mathit{b}+\mathit{a}\right)=0$
Par unicité de la forme algébrique, on obtient:
(${\mathit{E}}_2$) $\iff$ $\{\begin{array}{c}{\mathit{a}}^2-{\mathit{b}}^2-\mathit{b}+3=0\\ 2\mathit{a}\mathit{b}+\mathit{a}=0\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}{\mathit{a}}^2-{\mathit{b}}^2-\mathit{b}+3=0\\ \mathit{a}\left(2\mathit{b}+1\right)=0\end{array}$
Soit: (${\mathit{E}}_2$) $\iff$ $\{\begin{array}{c}{\mathit{a}}^2-{\mathit{b}}^2-\mathit{b}+3=0\\ \mathit{a}=0\end{array}$ ou $\{\begin{array}{c}{\mathit{a}}^2-{\mathit{b}}^2-\mathit{b}+3=0\\ \mathit{b}=-\frac{1}{2}\end{array}$
Soit: (${\mathit{E}}_2$) $\iff$ $\{\begin{array}{c}-{\mathit{b}}^2-\mathit{b}+3=0\\ \mathit{a}=0\end{array}$ ou $\{\begin{array}{c}{\mathit{a}}^2-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+3=0\\ \mathit{b}=-\frac{1}{2}\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}-{\mathit{b}}^2-\mathit{b}+3=0\\ \mathit{a}=0\end{array}$ ou $\{\begin{array}{c}{\mathit{a}}^2+\frac{13}{4}=0\\ \mathit{b}=-\frac{1}{2}\end{array}$
$-{\mathit{b}}^2-\mathit{b}+3$ est un trinôme à coefficients réels.
$\mathit{\Delta }=1-\left(-12\right)=13$.
$"0">\mathit{\Delta }\text{>}0$, donc le trinôme a 2 racines:
les réels $\frac{1-\sqrt{13}}{-2}$      et       $\frac{1+\sqrt{13}}{-2}$.
Par contre, le trinôme ${\mathit{a}}^2+\frac{13}{4}$ n'a pas de racine réelle.
On rappelle que l'on cherche $\mathit{z}$ sous la forme $\mathit{a}+\mathit{i}\mathit{b}$ avec $\mathit{a}$ et $\mathit{b}$ réels.
Finalement: (${\mathit{E}}_2$) $\iff$ $\{\begin{array}{c}\mathit{b}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\ \mathit{a}=0\end{array}$ ou $\{\begin{array}{c}\mathit{b}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\\ \mathit{a}=0\end{array}$
Et par là: ${\mathrm{S}}_2=\left\{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\mathit{i};\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\mathit{i}\right\}$.
On a alors: ${\mathit{z}}^2+\mathit{i}\mathit{z}+3=\left(\mathit{z}+\frac{1-\sqrt{13}}{2}\mathit{i}\right)\left(\mathit{z}+\frac{1+\sqrt{13}}{2}\mathit{i}\right)$