Corrigé
Méthode: isoler si cela est possible.
Sinon, annuler le membre de droite et tenter de factoriser à gauche.
En cas de difficulté, penser à écrire sous forme algébrique.
1. On note que ne peut être nul.
(on a utilisé la forme conjuguée)
Soit:
Soit:
Et par là: .
2. (on a utilisé la forme conjuguée)
Soit:
Soit:
Soit:
Et par là: .
3. ou
Soit: ou
Et par là: .
4.a. Soient et réels. On a: .
4.b.
Clique ICI pour revoir le cours sur l'égalité de 2 complexes.
Equation ()
Les coefficients du trinôme ne sont pas tous réels.
On écrit sous forme algébrique: , avec et réels.
()
Soit: ()
Par unicité de la forme algébrique, on obtient:
()
On rappelle que, pour résoudre une équation, il suffit d'annuler l'un des ses membres (ce qui est fait),
puis de factoriser l'autre membre (ce que nous allons faire en utilisant l'égalité du 1.a.).
()
()
On exprime en fonction de dans les premières lignes, et on substitue dans les secondes.
Soit: () ou
Soit: () ou
Soit: () ou
Examinons le système de gauche.
Dans la seconde ligne, est un trinôme à coefficients réels.
.
, donc le trinôme n'a pas de racine réelle.
On rappelle que l'on cherche sous la forme avec et réels.
Donc le système de gauche n'a pas de solution.
Examinons le système de droite.
Dans la seconde ligne: ou
On reporte dans la première ligne: donne .
donne .
Finalement: () ou
Et par là: .
Méthode 2. On rappelle que, pour résoudre une équation, il suffit d'annuler l'un des ses membres (ce qui est fait),
puis de factoriser l'autre membre.
On a: ()
Soit: () ou
Soit: () ou
Et par là: .
Méthode 3. On peut aussi utiliser une méthode (hors programme) qui utilise la propriété suivante.
L'équation (où , et sont 3 complexes avec ) admet pour discriminant ; elle a 2 racines et définies par:
et , où est une racine carrée de .
Ici: , et
convient (car ), et donne: et
Et par là: .
5.
Equation ()
Les coefficients du trinôme ne sont pas tous réels.
On écrit sous forme algébrique: , avec et réels.
()
Soit: ()
Par unicité de la forme algébrique, on obtient:
()
Soit: () ou
Soit: () ou
ou
est un trinôme à coefficients réels.
.
, donc le trinôme a 2 racines:
les réels et
.
Par contre, le trinôme n'a pas de racine réelle.
On rappelle que l'on cherche sous la forme avec et réels.
Finalement: () ou
Et par là: .
On a alors: