Corrigé

On tente de faire apparaître des angles remarquables.

1. On note que: $ { π}/{12}= { π}/{3}- { π}/{4}$.
   Par conséquent: $\sin { π}/{12}=\sin { π}/{3} \cos { π}/{4} -\cos { π}/{3} \sin { π}/{4}$
   Soit: $\sin { π}/{12}={√{3}}/{2} ×{√{2}}/{2} -{1}/{2} ×{√{2}}/{2}$
   
   Soit: $\sin { π}/{12}={√{6}-√{2}}/{4}$


2. On note que: $ 2{ 3π}/{8}= { 3π}/{4}$.
   Par conséquent: $\cos{ 3π}/{4}=2\cos^2 { 3π}/{8}-1$
   Or: $\cos{ 3π}/{4}=-\cos{ π}/{4}$
   Donc, on obtient: $-{√{2}}/{2}=2\cos^2 { 3π}/{8}-1$
   Et par là: $\cos^2 { 3π}/{8}={2-√{2}}/{4}$
   Donc: $\cos { 3π}/{8}=√{{2-√{2}}/{4}}$ ou $\cos { 3π}/{8}=-√{{2-√{2}}/{4}}$
   Mais, comme $0<{ 3π}/{8}≤{ π}/{2}$, on a: $\cos { 3π}/{8}>0$.
   Par conséquent: $\cos { 3π}/{8}=√{{2-√{2}}/{4}}$
   Soit: $\cos { 3π}/{8}={√{2-√{2}}}/{2}$


3. On a: $\cos(a+{2π}/{3})= \cos a×\cos{2π}/{3}-\sin a×\sin{2π}/{3}=\cos a×(-\cos{π}/{3})-\sin a×\sin{π}/{3}$
   Soit: $\cos(a+{2π}/{3})= -{1}/{2}\cos a-{√{3}}/{2}\sin a$
   
   Par ailleurs, on a: $\cos(a+{4π}/{3})= \cos a×\cos{4π}/{3}-\sin a×\sin{4π}/{3}=\cos a×(-\cos{π}/{3})-\sin a×(-\sin{π}/{3})$
   Soit: $\cos(a+{4π}/{3})= -{1}/{2}\cos a+{√{3}}/{2}\sin a$
   
   Par conséquent, on obtient:
   $\cos a+ \cos(a+{2π}/{3})+\cos(a+{4π}/{3})=\cos a-{1}/{2}\cos a-{√{3}}/{2}\sin a-{1}/{2}\cos a+{√{3}}/{2}\sin a$
   Soit: $\cos a+ \cos(a+{2π}/{3})+\cos(a+{4π}/{3})=0$  c.q.f.d.


4. On sait que:   $2\sin{π}/{9}×\cos{π}/{9}=\sin{2π}/{9}$    (1)
   Et que:   $2\sin{2π}/{9}×\cos{2π}/{9}=\sin{4π}/{9}$    (2)
   Et que:   $2\sin{4π}/{9}×\cos{4π}/{9}=\sin{8π}/{9}$  (  3)
   
   On calcule alors:   $8\sin{π}/{9}×a=2\sin{π}/{9}×\cos{π}/{9}×4\cos{2π}/{9}×\cos{4π}/{9}$
   Soit:   $8\sin{π}/{9}×a=2\sin{2π}/{9}×\cos{2π}/{9}×2\cos{4π}/{9}$    d'après(1)
   Soit:   $8\sin{π}/{9}×a=2\sin{4π}/{9}×\cos{4π}/{9}$    d'après(2)
   Soit:   $8\sin{π}/{9}×a=\sin{8π}/{9}$    d'après(3)
   Or:  $\sin{8π}/{9}=\sin{π}/{9}$
   Donc:   $8\sin{π}/{9}×a=\sin{π}/{9}$
   Et comme $\sin{π}/{9}$ est non nul, on obtient: $8a=1$.
   Et par là:   $a={1}/{8}$