Corrigé

On tente de faire apparaître des angles remarquables.

1. $|√2+i√2|=√{(√2)^2+(√2)^2}=√4=2$
   On factorise: $√2+i√2=2({√2}/{2}+i{√2}/{2})$.
   On note alors que: $√2+i√2=2(\cos ({π}/{4})+i\sin ({π}/{4}))=2e^{i{π}/{4}}$.
   
   $|√3-i|=√{(√3)^2+1^2}=√4=2$
   On factorise: $√3-i=2({√3}/{2}-i{1}/{2})$.
   On note alors que: $√3-i=2(\cos (-{π}/{6})+i\sin (-{π}/{6}))=2e^{-i{π}/{6}}$.
   
   D'où: $z={2e^{i{π}/{4}}}/{2e^{-i{π}/{6}}}=e^{i({π}/{4}+{π}/{6})}=e^{i{5π}/{12}$.
   
   Et finalement: $z^{12}=e^{5πi}$
   Et comme $5π=-π\, [2 π]$, on obtient: $z^{12}=e^{-iπ}=-1$.


2. On a: $\sin θ={e^{iθ}-e^{-iθ}}/{2i}$ (d'après les formules d'Euler)
   Donc: $\sin^3 θ=({e^{iθ}-e^{-iθ}}/{2i})^3={(e^{iθ}-e^{-iθ})^3}/{-8i}$
   On applique alors la formule du binôme de Newton.
   On obtient: $\sin^3 θ={(e^{iθ})^3+3(e^{iθ})^2(-e^{-iθ})+3e^{iθ}(-e^{-iθ})^2+(-e^{-iθ})^3}/{-8i}$
   Soit: $\sin^3 θ={e^{i3θ}-3e^{i2θ}e^{-iθ}+3e^{iθ}e^{-i2θ}-e^{-i3θ}}/{-8i}$
   Soit: $\sin^3 θ={e^{i3θ}-3e^{iθ}+3e^{-iθ}-e^{-i3θ}}/{-8i}$
   On regroupe les termes pour utiliser à nouveau les formules d'Euler.
   On obtient: $\sin^3 θ={e^{i3θ}-e^{-i3θ}-3(e^{iθ}-e^{-iθ})}/{-8i}$
   Donc: $\sin^3 θ={2i\sin 3θ-6i\sinθ}/{-8i}$
   
   Soit: $\sin^3 θ=-{1}/{4}\sin 3θ+{3}/{4}\sinθ$