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L'essentiel pour réussir

Nombres complexes

A SAVOIR: le cours sur les complexes

Exercice 8

  1. Soit $z={√2+i√2}/{√3-i}$.
    Ecrire $z$ sous forme exponentielle.
    Calculer $z^{12}$.
  2. Soit $θ$ un réel. Linéariser $\sin^3 θ$.

Solution...
Corrigé

On tente de faire apparaître des angles remarquables.

  1. $|√2+i√2|=√{(√2)^2+(√2)^2}=√4=2$
    On factorise: $√2+i√2=2({√2}/{2}+i{√2}/{2})$.
    On note alors que: $√2+i√2=2(\cos ({π}/{4})+i\sin ({π}/{4}))=2e^{i{π}/{4}}$.

    $|√3-i|=√{(√3)^2+1^2}=√4=2$
    On factorise: $√3-i=2({√3}/{2}-i{1}/{2})$.
    On note alors que: $√3-i=2(\cos ({5π}/{6})+i\sin ({5π}/{6}))=2e^{i{5π}/{6}}$.

    D'où: $z={2e^{i{π}/{4}}}/{2e^{i{5π}/{6}}}=e^{i({π}/{4}-{5π}/{6})}=e^{-i{7π}/{12}$.

    Et finalement: $z^{12}=e^{-7πi}$
    Et comme $-7π=-π\, [2 π]$, on obtient: $z^{12}=e^{-iπ}=-1$.

  2. On a: $\sin θ={e^{iθ}-e^{-iθ}}/{2i}$ (d'après les formules d'Euler)
    Donc: $\sin^3 θ=({e^{iθ}-e^{-iθ}}/{2i})^3={(e^{iθ}-e^{-iθ})^3}/{-8i}$
    On applique alors la formule du binôme de Newton.
    On obtient: $\sin^3 θ={(e^{iθ})^3+3(e^{iθ})^2(-e^{-iθ})+3e^{iθ}(-e^{-iθ})^2+(-e^{-iθ})^3}/{-8i}$
    Soit: $\sin^3 θ={e^{i3θ}-3e^{i2θ}e^{-iθ}+3e^{iθ}e^{-i2θ}-e^{-i3θ}}/{-8i}$
    Soit: $\sin^3 θ={e^{i3θ}-3e^{iθ}+3e^{-iθ}-e^{-i3θ}}/{-8i}$
    On regroupe les termes pour utiliser à nouveau les formules d'Euler.
    On obtient: $\sin^3 θ={e^{i3θ}-e^{-i3θ}-3(e^{iθ}-e^{-iθ})}/{-8i}$
    Donc: $\sin^3 θ={2i\sin 3θ-6i\sinθ}/{-8i}$

    Soit: $\sin^3 θ=-{1}/{4}\sin 3θ+{3}/{4}\sinθ$
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