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L'essentiel pour réussir

Graphes et matrices

A SAVOIR: le cours sur les graphes et les matrices

Exercice 1

$A=(\table 1,2)$       $B=(\table 3;4)$       $C=(\table 6,7;8,9)$       $D=(\table a,b;4,-3)$

1. Donner la dimension de chacune des matrices suivantes (si elles existent), puis déterminer ces matrices (à la calculatrice).
$A+B$,    $A×B$,    $B×A$,    $A×B+C$    et    $B×A+C$

2. On pose $M=C×D$. Déterminer les coefficients de M en fonction de $a$ et $b$.

3. On suppose que $M=I_2$. Que valent $a$ et $b$? Que dire de C et D?

Solution...
Corrigé

$A=(\table 1,2)$    $B=(\table 3;4)$    $C=(\table 6,7;8,9)$    $D=(\table a,b;4,-3)$

1. A et B n'ont pas les mêmes dimensions. On ne peut pas les sommer. $A+B$ n'existe pas.

A est de dimension $1×2$ et B est de dimension $2×1$, donc $A×B$ existe et est de dimension $1×1$. On obtient: $A×B=(11)$

B est de dimension $2×1$ et A est de dimension $1×2$, donc $B×A$ existe et est de dimension $2×2$. On obtient: $B×A=(\table 3,6;4,8)$

$A×B$ est de dimension $1×1$ et C est de dimension $2×2$. On ne peut pas les sommer. $A×B+C$ n'existe pas.

$B×A$ est de dimension $2×2$ et C est de dimension $2×2$. donc $B×A+C$ existe et est de dimension $2×2$. On obtient: $B×A+C=(\table 9,13;12,17)$

2. On pose $M=C×D$. On a donc:
$\{\table m_{11}=6×a+7×4;m_{12}=6×b+7×(-3);m_{21}=8×a+9×4;m_{22}=8×b+9×(-3)$      Soit: $\{\table m_{11}=6a+28;m_{12}=6b-21;m_{21}=8a+36;m_{22}=8b-27$
Et donc: $M=(\table 6a+28,6b-21;8a+36,8b-27)$

3. On a: $M=I_2$    $⇔$   $(\table 6a+28,6b-21;8a+36,8b-27)=(\table 1,0;0,1)$
$⇔$ $\{\table 6a+28=1; 6b-21=0;8a+36=0;8b-27=1$  $⇔$    $\{\table a=-4.5; b=3.5;a=-4.5;b=3.5$
Donc $M=I_2$ $⇔$ $a=-4,5$ et $b=3,5$

On a alors: $C×D=I_2$
Or C et D sont carrées de même dimension.
Donc C et D sont inverses l'une de l'autre.

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