Corrigé

1. On a: $\{\table a_{n+1}=0.6a_n-0.2b_n+50; b_{n+1}=0.1a_n+0.9b_n$
   Or: $U_{n+1}=A×U_n+C$
   Donc: $A=(\table 0.6,-0.2;0.1,0.9)$     et     $C=(\table 50;0 )$.


2. $S=A×S+C$ $⇔$ $I_2×S-A×S=C$ $⇔$ $(I_2-A)×S=C$
   Or: $I_2-A=(\table 1,0;0,1)-(\table 0.6,-0.2;0.1,0.9)=(\table 0.4,0.2;- 0.1,0.1)$
   A la calculatrice, on obtient: $(I_2-A)^{-1}=(\table {5}/{3},-{10}/{3};{5}/{3},{20}/{3})$
   Ce qui permet d'écrire: $S=(I_2-A)^{-1}×C$
   Et, à la calculatrice, on obtient alors: $S=(\table {250}/{3};{250}/{3})$
   L'état stable existe et vaut $S=(\table {250}/{3};{250}/{3})$


3. On considère la suite $(V_n)$ vérifiant: $V_n=U_n-S$.
   Donc: $V_{n+1}=U_{n+1}-S$.
   Soit: $V_{n+1}=A×U_n+C-S$.
   Or, comme $S=A×S+C$, on a: $S-A×S=C$
   On obtient donc: $V_{n+1}=A×U_n+S-A×S-S$.
   Soit: $V_{n+1}=A×U_n-A×S=A×(U_n-S)$.
   Soit: $V_{n+1}=A×V_n$.


4. Pour tout entier naturel $n$, notons $ P_n $ la propriété : $V_n=A^n×V_0$.
   Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $ P_n $ est vraie.
   Initialisation : On a: $ A^0×V_0=I_2×V_0=V_0$ , donc $ P_0 $ est vraie.
   Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $P_n$ soit vraie.
   On a donc: $V_n=A^n×V_0$.
   Or: $V_{n+1}=A×V_n$.
   D'où: $V_{n+1}=A×A^n×V_0$.
   Soit: $V_{n+1}=A^{n+1}×V_0$.
   Et par là: $ P_{n+1} $ est vraie.
   Conclusion: pour tout naturel $n$, $V_n=A^n×V_0$


5. Pour tout entier naturel $n$, notons $ Q_n $ la propriété :
   $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$.
   Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $ Q_n $ est vraie.
   Initialisation : On a: $ (\table 2×0.7^0-0.8^0,\,2×0.7^0-2×0.8^0;-0.7^0+0.8^0,\,-0.7^0+2×0.8^0)=(\table 1,0;0,1)=I_2=A^0$ , donc $ Q_0 $ est vraie.
   Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $Q_n$ soit vraie.
   On a donc: $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$.
   Or: $A^{n+1}=A×A^n$.
   Nous calculons à la main les quatres coefficients du produit $A×A^n$.
   On rappelle que $A=(\table 0.6,-0.2;0.1,0.9)$ et $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$
   On obtient les quatres coefficients:
   $\{\table 0.6×(2×0.7^n-0.8^n)-0.2×(-0.7^n+0.8^n)\,\,\,\,\,,0.6×(2×0.7^n-2×0.8^n)-0.2×(-0.7^n+2×0.8^n);0.1×(2×0.7^n-0.8^n)+0.9×(-0.7^n+0.8^n)\,\,\,\,\,,0.1×(2×0.7^n-2×0.8^n)+0.9×(-0.7^n+2×0.8^n)$
   Soit: : $\{\table 1.2×0.7^n-0.6×0.8^n+0.2×0.7^n-0.2×0.8^n\,\,\,\,\,,1.2×0.7^n-1.2×0.8^n+0.2×0.7^n-0.4×0.8^n;0.2×0.7^n-0.1×0.8^n-0.9×0.7^n+0.9×0.8^n\,\,\,\,\,,0.2×0.7^n-0.2×0.8^n-0.9×-0.7^n+1.8×0.8^n$
   Soit: : $\{\table 2×0.7^{n+1}-0.8^{n+1},\,\,\,\,\,2×0.7^{n+1}-2×0.8^{n+1};-0.7^{n+1}+0.8^{n+1},\,\,\,\,\,-0.7^{n+1}+2×0.8^{n+1}$
   On reconnait les quatres coefficients prévus pour $A^{n+1}$
   Et par là: $ Q_{n+1} $ est vraie.
   Conclusion: pour tout naturel $n$, $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$.


6. Nous allons retrouver le résultat précédent autrement.
   a. On pose: $D=(\table 0.7,0;0,0.8)$
   Montrons par récurrence la propriété $R_n$: $D^n=(\table 0.7^n,0;0,0.8^n)$.
   Initialisation : On a: $ (\table 0.7^0,0;0,0.8^0)=(\table 1,0;0,1)=I_2=D^0$ , donc $ R_0 $ est vraie.
   Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $R_n$ soit vraie.
   On a donc: $D^n=(\table 0.7^n,0;0,0.8^n)$.
   Or: $D^{n+1}=D×D^n$.
   Nous calculons à la main les quatres coefficients du produit $D×D^n$.
   On obtient: $\{\table 0.7×0.7^n+0×0\,\,\,\,\,,0.7×0+0×0.8^n;0×0.7^n+0.8×0\,\,\,\,\,,0×0+0.8×0.8^n$
   Soit: : $\{\table 0.7^{n+1},0;0,0.8^{n+1}$
   On reconnait les quatres coefficients prévus pour $D^{n+1}$
   Et par là: $ R_{n+1} $ est vraie.
   Conclusion: pour tout naturel $n$, $D^n=(\table 0.7^n,0;0,0.8^n)$.
   
   b. On pose: $P=(\table 2,-1;-1,1)$.
   Les experts auront vérifié que $det(P)=2×1-(-1)×(-1)=1$.
   Et comme $det(P)≠0$, la matrice $P$ est inversible,
   et on obtient: $P^{-1}={1}/{1}(\table 1,1;1,2)=(\table 1,1;1,2)$.
   On peut également vérifier que: $PDP^{-1}=A$.
   Montrons par récurrence la propriété $S_n$: $A^n=PD^nP^{-1}$
   Initialisation : On a: $ PD^0P^{-1}=PI_2P^{-1}=PP^{-1}=I_2=A^0$ , donc $ S_0 $ est vraie.
   Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $S_n$ soit vraie.
   On a donc: $A^n=PD^nP^{-1}$.
   Donc: $A^{n+1}=AA^n=PDP^{-1}PD^nP^{-1}=PDI_2D^nP^{-1}=PDD^nP^{-1}=PD^{n+1}P^{-1}$
   Et par là: $ S_{n+1} $ est vraie.
   Conclusion: pour tout naturel $n$, $A^n=PD^nP^{-1}$
   
   c. On effectue alors le produit: $A^n=PD^nP^{-1}=(\table 2,-1;-1,1)(\table 0.7^n,0;0,0.8^n)(\table1,1;1,2)$
   Soit: $A^n=(\table 2×0.7^n,-0.8^n;-0.7^n,0.8^n)(\table1,1;1,2)$
   Soit: $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$
   On a retrouvé la propriété de la question précédente!


7. Comme $V_n=A^n×V_0$ et $V_n=U_n-S$, on obtient:
   $U_n=A^n×V_0+S$
   Soit: $U_n=A^n×(U_0-S)+S$
   C'est la formule explicite demandée.
   
   Ici, $U_0-S=(\table 200;10)-(\table {250}/{3};{250}/{3})=(\table {350}/{3};-{220}/{3})$
   On a donc: $(\table a_n;b_n)=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)×(\table {350}/{3};-{220}/{3})+(\table {250}/{3};{250}/{3})$
   Soit: $(\table a_n;b_n)=(\table (2×0.7^n-0.8^n)×{350}/{3}-(2×0.7^n-2×0.8^n)×{220}/{3};(-0.7^n+0.8^n)×{350}/{3}-(-0.7^n+2×0.8^n)×{220}/{3})+(\table {250}/{3};{250}/{3})$
   Soit: $(\table a_n;b_n)=(\table {260}/{3}×0.7^n+30×0.8^n+{250}/{3}; -{130}/{3}×0.7^n-30×0.8^n+{250}/{3})$
   Donc on a bien: $a_n={260}/{3}×0.7^n+30×0.8^n+{250}/{3}$
   
   et: $b_n=-{130}/{3}×0.7^n-30×0.8^n+{250}/{3}$


8. Si $\lim↙{n→+∞}(U_n)=L$, alors, par passage à la limite dans l'égalité $U_{n+1}=A×U_n+C$, on obtient: $L=A×L+C$, ce qui prouve que $L=S$.


9. Si $q$ est dans $[0;1[$, alors on a: $\lim↙{n→+∞}(q^n)=0$
   Donc: $\lim↙{n→+∞}(a_n)={260}/{3}×0+30×0+{250}/{3}={250}/{3}$
   et $\lim↙{n→+∞}(b_n)=-{130}/{3}×0-30×0+{250}/{3}={250}/{3}$
   Donc la suite $(U_n)$ tend vers la matrice $(\table {250}/{3};{250}/{3})$
   Il s'agit évidemment de l'état stable.