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L'essentiel pour réussir

Graphes et matrices

A SAVOIR: le cours sur les graphes et les matrices

Exercice 4

Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites définies par:
$a_0=200$,     $b_0=10$,     $a_{n+1}=0,6a_n-0,2b_n+50$     et     $b_{n+1}=0,1a_n+0,9b_n$
On pose $U_n=(\table a_n;b_n)$
La suite $(U_n)$ est définie par son premier terme $U_0=(\table 200;10)$,
et par la relation de récurrence $U_{n+1}=A×U_n+C$.

  1. Donner les matrices A et C.
  2. Déterminer, s'il existe, l'état stable S.
  3. On considère la suite $(V_n)$ vérifiant $V_n=U_n-S$.
    Montrer que $V_{n+1}=AV_n$.
  4. Montrer par récurrence que $V_n=A^n×V_0$.
  5. Montrer par récurrence que $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$.
  6. Nous allons retrouver le résultat précédent autrement.
    On pose $D=(\table 0.7,0;0,0.8)$
    a. Montrer par récurrence que $D^n=(\table 0.7^n,0;0,0.8^n)$.
    b. On pose $P=(\table 2,-1;-1,1)$
    On admet que P est inversible et que $A=PDP^{-1}$.
    Montrer par récurrence que: $A^n=PD^nP^{-1}$
    c. Retrouver l'expression de $A^n$ obtenu à la question précédente.
  7. Déterminer une formule explicite pour $U_n$ en fonction de $A^n$ et $U_0$ et S.
    Puis en déduire que: $a_n={260}/{3}×0.7^n+30×0.8^n+{250}/{3}$
    et: $b_n=-{130}/{3}×0.7^n-30×0.8^n+{250}/{3}$
  8. Montrer que, si la suite $(U_n)$ tend vers une matrice L, alors $L=S$.
  9. Montrer que la suite $(U_n)$ tend vers effectivement vers S.

Solution...
Corrigé
  1. On a: $\{\table a_{n+1}=0.6a_n-0.2b_n+50; b_{n+1}=0.1a_n+0.9b_n$
    Or: $U_{n+1}=A×U_n+C$
    Donc: $A=(\table 0.6,-0.2;0.1,0.9)$     et     $C=(\table 50;0 )$.

  2. $S=A×S+C$ $⇔$ $I_2×S-A×S=C$ $⇔$ $(I_2-A)×S=C$
    Or: $I_2-A=(\table 1,0;0,1)-(\table 0.6,-0.2;0.1,0.9)=(\table 0.4,0.2;- 0.1,0.1)$
    A la calculatrice, on obtient: $(I_2-A)^{-1}=(\table {5}/{3},-{10}/{3};{5}/{3},{20}/{3})$
    Ce qui permet d'écrire: $S=(I_2-A)^{-1}×C$
    Et, à la calculatrice, on obtient alors: $S=(\table {250}/{3};{250}/{3})$
    L'état stable existe et vaut $S=(\table {250}/{3};{250}/{3})$

  3. On considère la suite $(V_n)$ vérifiant: $V_n=U_n-S$.
    Donc: $V_{n+1}=U_{n+1}-S$.
    Soit: $V_{n+1}=A×U_n+C-S$.
    Or, comme $S=A×S+C$, on a: $S-A×S=C$
    On obtient donc: $V_{n+1}=A×U_n+S-A×S-S$.
    Soit: $V_{n+1}=A×U_n-A×S=A×(U_n-S)$.
    Soit: $V_{n+1}=A×V_n$.

  4. Pour tout entier naturel $n$, notons $ P_n $ la propriété : $V_n=A^n×V_0$.
    Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $ P_n $ est vraie.
    Initialisation : On a: $ A^0×V_0=I_2×V_0=V_0$ , donc $ P_0 $ est vraie.
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $P_n$ soit vraie.
    On a donc: $V_n=A^n×V_0$.
    Or: $V_{n+1}=A×V_n$.
    D'où: $V_{n+1}=A×A^n×V_0$.
    Soit: $V_{n+1}=A^{n+1}×V_0$.
    Et par là: $ P_{n+1} $ est vraie.
    Conclusion: pour tout naturel $n$, $V_n=A^n×V_0$

  5. Pour tout entier naturel $n$, notons $ Q_n $ la propriété :
    $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$.
    Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $ Q_n $ est vraie.
    Initialisation : On a: $ (\table 2×0.7^0-0.8^0,\,2×0.7^0-2×0.8^0;-0.7^0+0.8^0,\,-0.7^0+2×0.8^0)=(\table 1,0;0,1)=I_2=A^0$ , donc $ Q_0 $ est vraie.
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $Q_n$ soit vraie.
    On a donc: $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$.
    Or: $A^{n+1}=A×A^n$.
    Nous calculons à la main les quatres coefficients du produit $A×A^n$.
    On rappelle que $A=(\table 0.6,-0.2;0.1,0.9)$ et $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$
    On obtient les quatres coefficients:
    $\{\table 0.6×(2×0.7^n-0.8^n)-0.2×(-0.7^n+0.8^n)\,\,\,\,\,,0.6×(2×0.7^n-2×0.8^n)-0.2×(-0.7^n+2×0.8^n);0.1×(2×0.7^n-0.8^n)+0.9×(-0.7^n+0.8^n)\,\,\,\,\,,0.1×(2×0.7^n-2×0.8^n)+0.9×(-0.7^n+2×0.8^n)$
    Soit: : $\{\table 1.2×0.7^n-0.6×0.8^n+0.2×0.7^n-0.2×0.8^n\,\,\,\,\,,1.2×0.7^n-1.2×0.8^n+0.2×0.7^n-0.4×0.8^n;0.2×0.7^n-0.1×0.8^n-0.9×0.7^n+0.9×0.8^n\,\,\,\,\,,0.2×0.7^n-0.2×0.8^n-0.9×-0.7^n+1.8×0.8^n$
    Soit: : $\{\table 2×0.7^{n+1}-0.8^{n+1},\,\,\,\,\,2×0.7^{n+1}-2×0.8^{n+1};-0.7^{n+1}+0.8^{n+1},\,\,\,\,\,-0.7^{n+1}+2×0.8^{n+1}$
    On reconnait les quatres coefficients prévus pour $A^{n+1}$
    Et par là: $ Q_{n+1} $ est vraie.
    Conclusion: pour tout naturel $n$, $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$.

  6. Nous allons retrouver le résultat précédent autrement.
    a. On pose: $D=(\table 0.7,0;0,0.8)$
    Montrons par récurrence la propriété $R_n$: $D^n=(\table 0.7^n,0;0,0.8^n)$.
    Initialisation : On a: $ (\table 0.7^0,0;0,0.8^0)=(\table 1,0;0,1)=I_2=D^0$ , donc $ R_0 $ est vraie.
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $R_n$ soit vraie.
    On a donc: $D^n=(\table 0.7^n,0;0,0.8^n)$.
    Or: $D^{n+1}=D×D^n$.
    Nous calculons à la main les quatres coefficients du produit $D×D^n$.
    On obtient: $\{\table 0.7×0.7^n+0×0\,\,\,\,\,,0.7×0+0×0.8^n;0×0.7^n+0.8×0\,\,\,\,\,,0×0+0.8×0.8^n$
    Soit: : $\{\table 0.7^{n+1},0;0,0.8^{n+1}$
    On reconnait les quatres coefficients prévus pour $D^{n+1}$
    Et par là: $ R_{n+1} $ est vraie.
    Conclusion: pour tout naturel $n$, $D^n=(\table 0.7^n,0;0,0.8^n)$.

    b. On pose: $P=(\table 2,-1;-1,1)$. On note que $P^{-1}=(\table 1,1;1,2)$, et on peut vérifier que: $PDP^{-1}=A$.
    Montrons par récurrence la propriété $S_n$: $A^n=PD^nP^{-1}$
    Initialisation : On a: $ PD^0P^{-1}=PI_2P^{-1}=PP^{-1}=I_2=A^0$ , donc $ S_0 $ est vraie.
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $S_n$ soit vraie.
    On a donc: $A^n=PD^nP^{-1}$.
    Donc: $A^{n+1}=AA^n=PDP^{-1}PD^nP^{-1}=PDI_2D^nP^{-1}=PDD^nP^{-1}=PD^{n+1}P^{-1}$
    Et par là: $ S_{n+1} $ est vraie.
    Conclusion: pour tout naturel $n$, $A^n=PD^nP^{-1}$

    c. On effectue alors le produit: $A^n=PD^nP^{-1}=(\table 2,-1;-1,1)(\table 0.7^n,0;0,0.8^n)(\table1,1;1,2)$
    Soit: $A^n=(\table 2×0.7^n,-0.8^n;-0.7^n,0.8^n)(\table1,1;1,2)$
    Soit: $A^n=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)$
    On a retrouvé la propriété de la question précédente!

  7. Comme $V_n=A^n×V_0$ et $V_n=U_n-S$, on obtient:
    $U_n=A^n×V_0+S$
    Soit: $U_n=A^n×(U_0-S)+S$
    C'est la formule explicite demandée.

    Ici, $U_0-S=(\table 200;10)-(\table {250}/{3};{250}/{3})=(\table {350}/{3};-{220}/{3})$
    On a donc: $(\table a_n;b_n)=(\table 2×0.7^n-0.8^n,\,2×0.7^n-2×0.8^n;-0.7^n+0.8^n,\,-0.7^n+2×0.8^n)×(\table {350}/{3};-{220}/{3})+(\table {250}/{3};{250}/{3})$
    Soit: $(\table a_n;b_n)=(\table (2×0.7^n-0.8^n)×{350}/{3}-(2×0.7^n-2×0.8^n)×{220}/{3};(-0.7^n+0.8^n)×{350}/{3}-(-0.7^n+2×0.8^n)×{220}/{3})+(\table {250}/{3};{250}/{3})$
    Soit: $(\table a_n;b_n)=(\table {260}/{3}×0.7^n+30×0.8^n+{250}/{3}; -{130}/{3}×0.7^n-30×0.8^n+{250}/{3})$
    Donc on a bien: $a_n={260}/{3}×0.7^n+30×0.8^n+{250}/{3}$

    et: $b_n=-{130}/{3}×0.7^n-30×0.8^n+{250}/{3}$

  8. Si $\lim↙{n→+∞}(U_n)=L$, alors, par passage à la limite dans l'égalité $U_{n+1}=A×U_n+C$, on obtient: $L=A×L+C$, ce qui prouve que $L=S$.

  9. Si $q$ est dans $[0;1[$, alors on a: $\lim↙{n→+∞}(q^n)=0$
    Donc: $\lim↙{n→+∞}(a_n)={260}/{3}×0+30×0+{250}/{3}={250}/{3}$
    et $\lim↙{n→+∞}(b_n)=-{130}/{3}×0-30×0+{250}/{3}={250}/{3}$
    Donc la suite $(U_n)$ tend vers la matrice $(\table {250}/{3};{250}/{3})$
    Il s'agit évidemment de l'état stable.
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