On a: $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{u}}_{\mathit{n}}=\mathit{l}$
Donc, comme la fonction affine $0,5\mathit{x}+10$ est continue sur $\mathrm{R}$, on obtient: $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }0,5{\mathit{u}}_{\mathit{n}}+10=0,5\mathit{l}+10$.
Par ailleurs, comme $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{u}}_{\mathit{n}}=\mathit{l}$, on a aussi: $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{u}}_{\mathit{n}+1}=\mathit{l}$
On a donc $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }0,5{\mathit{u}}_{\mathit{n}}+10=0,5\mathit{l}+10$ et $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{u}}_{\mathit{n}+1}=\mathit{l}$
Par conséquent, comme ${\mathit{u}}_{\mathit{n}+1}=0,5{\mathit{u}}_{\mathit{n}}+10$, on obtient finalement (par unicité de la limite):
$\mathit{l}=0,5\mathit{l}+10$
Et par là: $\mathit{l}=20$

Une rédaction plus concise est la suivante.
On suppose que $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{u}}_{\mathit{n}}=\mathit{l}$.
Or ici, ${\mathit{u}}_{\mathit{n}+1}=\mathit{f}\left({\mathit{u}}_{\mathit{n}}\right)$ avec $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=0,5\mathit{x}+10$.
Donc, comme $\mathit{f}$ est continue, par passage à la limite, on obtient:
$\mathit{l}=0,5\mathit{l}+10$
Et par là: $\mathit{l}=20$

D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $\mathit{f}$ est continue sur $\left[-3;7\right]$.
Or, 12 est un nombre compris entre $\mathit{f}\left(-3\right)=25$ et $\mathit{f}\left(7\right)=8$,
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=12$ admet au moins une solution sur $\left[-3;7\right]$.

D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $\mathit{f}$ est continue et strictement décroissante sur $\left[-2;2\right]$.
Or 12 est un nombre compris entre $\mathit{f}\left(-2\right)=20$ et $\mathit{f}\left(2\right)=9$,
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=12$ admet une unique solution ${\mathit{c}}_1$ sur $\left[-2;2\right]$.
De même, nous pouvons démontrer que l'équation $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=12$ admet admet une unique solution ${\mathit{c}}_2$ sur $\left[2;10\right]$.
Enfin, comme 13 est le minimum de $\mathit{f}$ sur $\left[10;17\right]$, l'équation $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=12$ n'admet pas de solution sur $\left[10;17\right]$.
Il est clair que: $-2$<${\mathit{c}}_1$<$2$<${\mathit{c}}_2$<$10$. L'équation $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=12$ admet donc exactement 2 solutions, la première entre -2 et 2, la seconde entre 2 et 10.

D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $\mathit{f}$ est continue et strictement décroissante sur $[-2,7;+\mathit{\infty }[$.
Or 1 est strictement inférieur à $\mathit{f}\left(-2,7\right)=8,9$, et $\underset{\mathit{x}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=-\mathit{\infty }$.,
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=1$ admet une unique solution sur $[-2,7;+\mathit{\infty }[$.