La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Vecteurs, droites et plans de l'espace

I Droites et plans de l'espace

Remarque: quelques mises au point pour commencer avant de manipuler les vecteurs de l'espace...

Propriété

Deux droites de l'espace sont:
soit coplanaires (dans un même plan), soit non coplanaires.

Deux droites coplanaires sont;
soit parallèles , soit sécantes .

Deux droites parallèles sont:
soit strictement parallèles, soit confondues .

Exemple

ABCDEFGH est un cube.
$d_1=(DH)$     $d_2=(CG)$      $d_3=(DG)$     $d_4=(AB)$

Les droites $d_4$ et $d_3$ ne sont pas coplanaires.
Les droites $d_3$ et $d_2$ sont coplanaires et sécantes en G.
Les droites $d_1$ et $d_2$ sont coplanaires et strictement parallèles.
Les droites $d_1$ et $(DH)$ sont coplanaires et confondues.

fig10

Propriété

Une droite et un plan de l'espace sont:
soit sécants selon un point, soit parallèles .

Une droite et un plan parallèles sont:
soit strictement parallèles, soit tels que la droite est dans le plan.

Exemple

Dans la figure du premier exemple:
Le plan $(AEH)$ et la droite $d_3$ sont sécants au point D.
Le plan $(AEH)$ et la droite $d_2$ sont strictement parallèles.
Le plan $(AEH)$ et la droite $d_1$ sont parallèles et $d_1$ est dans le plan $(AEH)$.


Propriété

Deux plans de l'espace sont:
soit sécants selon une droite, soit parallèles .

Deux plans parallèles sont:
soit strictement parallèles, soit confondus .

Exemple

Reprenons la figure du premier exemple:
Les plans $(AEH)$ et $(BFD)$ sont sécants selon la droite $(DH)$.
Les plans $(AEH)$ et $(BCG)$ sont strictement parallèles.
Les plans $(AEH)$ et $(DAH)$ sont parallèles et confondus.

fig11
Exemple

ABCD est un tétraèdre non aplati représenté ci-dessous en perspective cavalière.
X est le milieu de l'arête [AB], Y est sur l'arête [BC], mais n'est pas le milieu de [BC], Z est le mileu de l'arête [AD].
fig12
Il est clair que les points X et Z sont dans le plan (ABD).
Nous allons déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (XYZ).

  1. Les droites (XY) et (AC) sont-elles coplanaires?
  2. a. Les droites (XY) et (AC) sont sécantes. Pourquoi?
    b. Pourquoi leur point d'intersection M appartient-il à la fois au plan (XYZ) et au plan (ACD)?
    c. Quel autre point appartient à la fois au plan (XYZ) et au plan (ACD)?
  3. a. Montrer que le point X ne peut appartenir au plan (ACD) (raisonner par l'absurde).
    b. Pourquoi les plans (XYZ) et (ACD) sont-ils sécants?
    c. Tracer la droite intersection de (XYZ) et (ACD).
  4. Construire la section du tétraèdre par le plan (XYZ) (On ne demande pas de justification, mais il faudra laisser les traits de construction.
    La section sera repassée en rouge)
Solution...
Corrigé
  1. X est sur [AB], donc X est dans le plan (ABC).
    Y est sur [BC], donc Y est dans le plan (ABC).
    Et comme X et Y sont dans le plan (ABC), la droite (XY) est dans le plan (ABC).
    Par ailleurs, il est évident que la droite (AC) est dans le plan (ABC).
    Finalement, (XY) et (AC) sont coplanaires (dans le plan (ABC)).

  2. a. Considérons le triangle ABC, dont X est le milieu du côté [AB].
    Si (XY) et (AC) étaient parallèles, alors Y serait le milieu de [BC], ce qui contraire à l'hypothèse.
    Donc les droites coplanaires (XY) et (AC) ne peuvent qu'être sécantes.

    b. Le point M est sur la droite (XY), donc il est dans le plan (XYZ).
    Le point M est sur la droite (AC), donc il est dans le plan (ACD).
    Finalement, M appartient à la fois au plan (XYZ) et au plan (ACD).

    c. Le point Z est évidemment dans (XYZ).
    Et comme il est sur [AD], il est dans (ACD).
    Z appartient donc à la fois au plan (XYZ) et au plan (ACD).

  3. a. Si X appartenait au plan (ACD), alors, comme A est dans (ACD), la droite (AX) y serait aussi, et par là, le point B serait dans le plan (ADC).
    Le tétraèdre ABCD ne serait plus aplati, ce qui est contraire à l'hypothèse.
    Donc, finalement, X ne peut appartenir au plan (ACD).

    b. Z est dans (XYZ). Or, Z étant sur [AC], Z est dans (ACD).
    Donc les plans (XYZ) et (ACD) ont au moins un point commun.
    Par conséquent, ils sont soit confondus, soit sécants.
    Or, ils ne peuvent être confondus car X appartient à (XYZ) mais n'appartient pas à (ACD).
    Donc ils sont sécants.

    c. M et Z sont à la fois dans les plans (XYZ) et (ACD), donc ces plans se coupent selon la droite (ZM).
  4. La section est XYHZ.
    fig13
Réduire...

II Vecteurs de l'espace

Remarque: les définitions et propriétés relatives aux vecteurs du plan s'étendent à l'espace. En voici quelques unes.

Propriétés

ABDC est un parallélogramme
si et seulement si
[AD] et [BC] ont même milieu.

fig1

ABDC est un parallélogramme
si et seulement si ${AB}↖{→}={CD}↖{→}$.

fig2

ABDC est un parallélogramme si et seulement si
D est l'image de C par la translation de vecteur ${AB}↖{→}$.

Règle du parallélogramme:
ABDC est un parallélogramme si et seulement si ${AB}↖{→}+{AC}↖{→}={AD}↖{→}$.

fig3

Propriétés

Relation de Chasles:
${AB}↖{→}+{BC}↖{→}={AC}↖{→}$.

fig4

Milieu et vecteurs opposés:
Le point I est le milieu de [AB] si et seulement si ${AI}↖{→}=-{BI}↖{→}$.

fig5
Exemple

ABCDS est une pyramide de sommet S dont la base ABCD est un parallélogramme.
Démontrer que ${SD}↖{→}+ {SB}↖{→}= {SC}↖{→}+ {SA}↖{→}$.

Solution...
Corrigé

ABCD est un parallélogramme, donc: ${AB}↖{→}= {DC}↖{→}$, et donc: ${AB}↖{→}+{CD}↖{→}={0}↖{→}$        (1).
${SD}↖{→}+ {SB}↖{→}={SC}↖{→}+ {CD}↖{→}+{SA}↖{→}+ {AB}↖{→}$ (Chasles)
D'où: ${SD}↖{→}+ {SB}↖{→}= {SC}↖{→}+ {SA}↖{→}+{0}↖{→}$ (d'après (1))
Soit: ${SD}↖{→}+ {SB}↖{→}= {SC}↖{→}+ {SA}↖{→}$.

Réduire...

Définition

Le vecteur nul ${0}↖{→}$ est colinéaire à tout vecteur.
Deux vecteurs non nuls ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ sont colinéaires si et seulement si
il existe un réel $k$ tel que ${v}↖{→}=k.{u}↖{→}$


III Combinaisons linéaires et bases

Définition

Si ${u_1}↖{→}$, ${u_2}↖{→}$, ..., ${u_n}↖{→}$ sont $n$ vecteurs, et si $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ sont $n$ réels,
alors le vecteur $a_1 .{u_1}↖{→}+a_2 .{u_2}↖{→}+ ...+a_n .{u_n}↖{→}$ est une combinaison linéaire des vecteurs ${u_1}↖{→}$, ${u_2}↖{→}$, ...et ${u_n}↖{→}$.

Exemple

Reprenons la figure du premier exemple:
fig7
Exprimer le vecteur ${DG}↖{→}$ comme combinaison linéaire des vecteurs ${DC}↖{→}$ et ${DH}↖{→}$.
Exprimer le vecteur ${DF}↖{→}$ comme combinaison linéaire des vecteurs ${DC}↖{→}$, ${DH}↖{→}$ et ${DA}↖{→}$.

Solution...
Corrigé

Comme la figure est un cube, ses faces sont des carrés, et donc des parallélogrammes.
Et donc, comme DCGH est un parallélogramme, on a: ${DG}↖{→}= {DC}↖{→}+{DH}↖{→}$.
L'écriture ${DG}↖{→}=1.{DC}↖{→}+1.{DH}↖{→}$ montre clairement que ${DG}↖{→}$ est une combinaison linéaire des vecteurs ${DC}↖{→}$ et ${DH}↖{→}$.

D'après la relation de Chasles, on a: ${DF}↖{→}={DG}↖{→}+{GF}↖{→}$
Or, on a vu que: ${DG}↖{→}= {DC}↖{→}+{DH}↖{→}$
Et comme la figure est un cube, on a de plus: ${GF}↖{→}={DA}↖{→}$
Donc on obtient finalement: ${DF}↖{→}={DC}↖{→}+{DH}↖{→}+{DA}↖{→}$
Ce qui montre que ${DF}↖{→}$ est une combinaison linéaire des vecteurs ${DC}↖{→}$, ${DH}↖{→}$ et ${DA}↖{→}$.

Réduire...

Propriétés et définitions

Soient A et B deux points non confondus.
M appartient à la droite (AB) si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que ${AM}↖{→}=k{AB}↖{→}$.
${AB}↖{→}$ est un vecteur directeur de la droite (AB).

Soient A, B et C trois points non alignés.
M appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que ${AM}↖{→}=x{AB}↖{→}+y{AC}↖{→}$.
${AB}↖{→}$ et ${AC}↖{→}$ sont deux vecteurs directeurs du plan (ABC).

Remarque:
Une droite peut être définie:
par 2 points distincts,
ou: par un point et un vecteur directeur (nécessairement non nul).

Un plan peut être défini:
par 3 points non alignés,
ou: par un point et deux vecteurs directeurs (nécessairement non colinéaires).


Définitions et propriétés

On considère une droite de vecteur directeur ${u}↖{→}$.
La direction (vectorielle) $\D$ de cette droite est l'ensemble de tous les vecteurs colinéaires à ${u}↖{→}$.
${v}↖{→}$ appartient à $\D$ si et seulement si il existe un réel $k$ tel que ${v}↖{→}=k.{u}↖{→}$
Le vecteur ${u}↖{→}$ constitue alors une base de la direction vectorielle D.
Le réel $k$ est unique et s'appelle la coordonnée de ${v}↖{→}$ dans la base ${u}↖{→}$.

On considère un plan de vecteurs directeurs ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$.
La direction (vectorielle) $\P$ de ce plan est l'ensemble de tous les vecteurs combinaisons linéaires de ${u}↖{→}$ et de ${v}↖{→}$.
${w}↖{→}$ appartient à $\P$ si et seulement si il existe deux réels $a$ et $b$ tel que ${w}↖{→}=a.{u}↖{→}+b.{v}↖{→}$
Le couple de vecteurs $({u}↖{→},{v}↖{→})$ constitue alors une base du plan vectoriel $\P$.
Le couple de réels $(a,b)$ est unique et s'appelle les coordonnées de ${w}↖{→}$ dans la base $({u}↖{→},{v}↖{→})$.


Propriété

On considère deux droites de vecteurs directeurs respectifs ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$
Ces droites sont parallèles
si et seulement si elles ont la même direction (vectorielle)
si et seulement si ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ sont colinéaires.

On considère deux plans de couples de vecteurs directeurs respectifs (${u}↖{→}$,${v}↖{→}$) et (${u'}↖{→}$,${v'}↖{→}$)
Ces plans sont parallèles
si et seulement si ils ont la même direction (vectorielle)
si et seulement si ${u'}↖{→}$ et ${v'}↖{→}$ sont combinaisons linéaires de ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$.

On considère une droite de vecteur directeur ${u}↖{→}$ et un plan de direction vectorielle $\P$
La droite est parallèle au plan
si et seulement si la direction (vectorielle) de la droite est incluse dans celle du plan
si et seulement si ${u}↖{→}$ appartient à la direction vectorielle $\P$

Exemple

Reprenons encore une fois la figure du premier exemple:
fig8
Démontrer que les plans (DBE) et (CFH) sont parallèles.

Solution...
Corrigé

Les vecteurs ${EB}↖{→}$ et ${ED}↖{→}$ sont vecteurs directeurs du plan (DBE).
Les vecteurs ${HC}↖{→}$ et ${CF}↖{→}$ sont vecteurs directeurs du plan (CFH).
Or, comme ABCDEFGH est un cube, les vecteurs ${CB}↖{→}$ et ${HE}↖{→}$ sont égaux, et par là, HEBC est un parallélogramme, et donc, les vecteurs ${EB}↖{→}$ et ${HC}↖{→}$ sont égaux.
De même, on peut montrer que les vecteurs ${ED}↖{→}$ et ${CF}↖{→}$ sont égaux.
Donc finalement, les plans (DBE) et (CFH) ont les mêmes vecteurs directeurs.
Donc les plans (DBE) et (CFH) sont parallèles.
Notons qu'il aurait suffit que ${HC}↖{→}$ et ${CF}↖{→}$ soient combinaisons linéaires de ${EB}↖{→}$ et ${ED}↖{→}$ pour démontrer le parallélisme.

Réduire...

Définition

${u}↖{→}$, ${v}↖{→}$ et ${w}↖{→}$ sont coplanaires
si et seulement si il existe des nombres réels $x$ et $y$ tels que ${w}↖{→}=x{u}↖{→}+y{v}↖{→}$.


Définition

3 trois vecteurs non coplanaires ${i}↖{→}$, ${j}↖{→}$ et ${k}↖{→}$ définissent une base de l'espace (vectoriel), notée $({i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$.
Un point O et 3 trois vecteurs non coplanaires ${i}↖{→}$, ${j}↖{→}$ et ${k}↖{→}$ définissent un repère de l'espace, noté $(O,{i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$.

Définition et propriété

Soient $({i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$ une base de l'espace.

Pour tout vecteur ${v}↖{→}$, il existe un triplet $(x;y;z)$ de nombres réels tel que ${v}↖{→}=x{i}↖{→}+y{j}↖{→}+z{k}↖{→}$.

Le triplet de réels $(x,y,z)$ est unique et s'appelle les coordonnées de ${v}↖{→}$ dans la base $({i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$.
$x$ est l'abscisse de ${v}↖{→}$.
$y$ est l'ordonnée de ${v}↖{→}$.
$z$ est la cote de ${v}↖{→}$.

Exemple

Reprenons encore une fois la figure du premier exemple:
fig7
Par lecture graphique, déterminer si les propositions suivantes sont vraies.

  1. $({DC}↖{→}$,${DH}↖{→}$,${DG}↖{→})$ est une base de l'espace.
  2. $({DC}↖{→}$,${DH}↖{→}$,${DA}↖{→})$ est une base de l'espace.
  3. $(A,{DA}↖{→}$,${FG}↖{→})$ est un repère du plan (DGA).
  4. $({DC}↖{→}$,${DH}↖{→}$,${DF}↖{→})$ est une base de l'espace.
  5. Le vecteur ${DA}↖{→}$ a pour coordonnées $(-1,1,-1)$ dans la base $({DC}↖{→}$,${DH}↖{→}$,${DF}↖{→})$

Solution...
Corrigé

  1. C'est FAUX. $({DC}↖{→}$,${DH}↖{→}$,${DG}↖{→})$ n'est pas une base de l'espace car ces 3 vecteurs sont coplanaires (on a ${DG}↖{→}= {DC}↖{→}+{DH}↖{→}$).
  2. C'est VRAI. $({DC}↖{→}$,${DH}↖{→}$,${DA}↖{→})$ est une base de l'espace car ces 3 vecteurs ne sont pas coplanaires.
  3. C'est FAUX. $(A,{DA}↖{→}$,${FG}↖{→})$ n'est pas un repère du plan (DGA) car les vecteurs ${DA}↖{→}$ et ${FG}↖{→}$ sont colinéaires (ils sont même opposés).
  4. C'est VRAI. $({DC}↖{→}$,${DH}↖{→}$,${DF}↖{→})$ est une base de l'espace car ces 3 vecteurs ne sont pas coplanaires.
  5. C'est FAUX. On a: ${DF}↖{→}={DC}↖{→}+{DH}↖{→}+{DA}↖{→}$
    Et donc: ${DF}↖{→}-{DC}↖{→}-{DH}↖{→}={DA}↖{→}$
    Et par là, le vecteur ${DA}↖{→}$ a pour coordonnées $(-1,-1,1)$ dans la base $({DC}↖{→}$,${DH}↖{→}$,${DF}↖{→})$

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