La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Concentration, loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $μ$ (mu) et de variance $V(X)$
Si $δ$ (delta) est un réel strictement positif, alors on a:
$p(|X-μ|≥δ)≤{V(X)}/{δ^2}$

Exemple

Jean possède un dé équilibré.
Soit S la variable aléatoire comptant le nombre de 3 obtenus sur 600 lancers.
Montrer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que: :  $p(80$<$S$<$120)≥0,79$
Calculer directement $p(80$<$S$<$120)$ et vérifier le résultat précédent.

Solution...
Corrigé

Les lancers étant indépendants, la variable aléatoire S suit la loi binomiale de paramètres $n=600$ et $p={1}/{6}$.
On a alors:  $μ=E(S)=n×p=600×{1}/{6}=100$  et  $V(S)=n×p×(1-p)=600×{1}/{6}×{5}/{6}={250}/{3}≈83,33$
Par ailleurs, on note que: :  $80$<$S$<$120$ $ ⇔$ $|S-100|$<$20$
Or, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a: :  $p(|S-μ|≥δ)≤{V(S)}/{δ^2}$
Soit, en posant $δ=20$:   $p(|S-100|≥20)≤{{250}/{3}}/{20^2}$
Et donc:    $p(|S-100|≥20)≤0,21$
Et par là:    $p(|S-100|$<$20)≥1-0,21$
Soit: $p(80$<$S$<$120)≥0,79$

On calcule directement: $p(80$<$S$<$120)= p(S≤119)-p(S≤80)≈0,982-0,014≈0,97$
Le résultat est largement supérieur à 0,79.
On constate que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'est pas optimale!

Réduire...

Inégalité de concentration

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $μ$ (mu) et de variance $V(X)$

Soit ($X_1$, $X_2$,...,$X_n$) un échantillon de la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Soit la moyenne: $M_n={S_n}/{n}$

Si $δ$ (delta) est un réel strictement positif, alors on a:

$p(|M_n-μ|≥δ)≤{V(X)}/{nδ^2}$

Exemple

Jean possède un dé équilibré.
Soit $M_n$ la variable aléatoire donnant la moyenne des résultats obtenus sur $n$ lancers.
On sait que $E(X)=3,5$ et que $V(X)={17,5}/{6}$
Déterminer, à l'aide de l'inégalité de concentration, la taille $n$ de l'échantillon pour que:
$p(|M_n-3,5|$<$1)≥0,95$

Solution...
Corrigé

D'après l'inégalité de concentration avec $δ=1$, on a: :  $p(|M_n-3,5|≥1)≤{{17,5}/{6}}/{n×1^2}$
D'où: :  $1-p(|M_n-3,5|≥1)≥1-{17,5}/{6n}$
Soit: :  $p(|M_n-3,5|$<$1)≥1-{17,5}/{6n}$
Donc, pour obtenir :  $p(|M_n-3,5|$<$1)≥0,95$, il suffit que :  $1-{17,5}/{6n}≥0,95$
Soit: : $0,05≥{17,5}/{6n}$
Soit: : $n≥{17,5}/{6×0,05}$
Et comme ${17,5}/{6×0,05}≈58,3$, un échantillon de taille 59 suffit.
Interprétation.
La moyenne espérée des résultats est de 3,5.
Le fait que l'inégalité de concentration $p(|M_n-3,5|$<$1)≥0,95$ soit vérifiée pour $n≥59$ signifie que, si on lance au moins 59 fois le dé, alors la probabilité que la moyenne des résultats soit strictement comprise entre 2,5 et 4,5 vaut au moins 0,95.

Réduire...

Loi faible des grands nombres

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $μ$ (mu) et de variance $V(X)$

Soit ($X_1$, $X_2$,...,$X_n$) un échantillon de la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Soit la moyenne: $M_n={S_n}/{n}$

Si $δ$ (delta) est un réel strictement positif, alors on a:

$\lim↙{n→+∞}p(|M_n-μ|≥δ)=0$

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