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L'essentiel pour le bac

Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

A SAVOIR: le cours sur Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

Exercice 1

Un virus a contaminé 1% de la population.
On considère un échantillon de 100 personnes.
La population est suffisamment importante pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de malades dans l'échantillon.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement 5 malades dans l'échantillon.
On arrondira le résultat au dix millième.
3. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 5 malades dans l'échantillon.
On donnera une valeur arrondie au dix millième.
4. Déterminer la probabilité que le nombre de malades dans l'échantillon soit dans l'intervalle [2;5].
On donnera une valeur arrondie au dix millième.


Solution...
Corrigé

1. Le choix de l'échantillon revient à répéter 100 fois de manière indépendante une expérience à 2 issues:
S: "la personne est malade"
E:" la personne n'est pas malade".
On a $p(S)=0,01$, et X dénombre le nombre de "succès".
On en déduit que X suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,01$.

2. A la calculatrice, on obtient: $p(X=5)≈0,0029$.

3. On cherche $p(X≥5)$.
Or $p(X≥5)=1-p(X\text"<"5)=1-p(X≤4)$.
Et à la calculatrice, on obtient: $p(X≤4)≈0,9966$.
Donc $p(X≥5)≈0,0034$.

4. On cherche $p(2≤X≤5)=p(X≤5)-p(X\text"<"2)=p(X≤5)-p(X≤1)$.
Et à la calculatrice, on obtient: $p(X≤5)≈0,9995$ et $p(X≤1)≈0,7358$.
Donc $p(2≤X≤5)≈0,2637$.

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