La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Loi binomiale

A SAVOIR: le cours sur la binomiale

Exercice 4

Le directeur d'un hôtel tente de louer toutes ses chambres malgré les défections de quelques clients.
Il a instauré un système de réservations et a constaté que $20\%$ des clients réservent par téléphone, les autres utilisent internet.
Mais certains clients ayant réservé ne viennent pas; cela concerne $4\%$ des clients ayant réservé par téléphone, et $10\%$ des clients ayant réservé par internet.
On considère une réservation prise au hasard.
Soit T : " la réservation a été faite par téléphone ";
I : " la réservation a été faite par Internet " ;
P : " le client se présente à l'hôtel ".

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    Montrer que $p(P)=0,916$
  2. On considère un client présent dans l'hôtel.
    Quelle est la probabilité qu'il ait réservé par internet? (arrondie au millième)
  3. Le directeur sait qu'il ne peut accueillir que 100 clients. Mais il a accordé 106 réservations.
    Soit X la variable aléatoire qui dénombre les clients qui se présentent à l'hôtel.
    Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
  4. Quelle est la probabilité que les 106 clients de présentent à l'hôtel? (arrondie à $10^{-5}$)
  5. Quelle est la probabilité, arrondie au centième) que le directeur se retrouve en situation de surréservation (c'est à dire qu'au moins 101 clients se présentent à l'hôtel)?
  6. Quel est le nombre maximum de réservations que doit accorder le directeur pour être certain à $99\%$ que tous les clients qui se présenteront à l'hôtel aient une chambre?

Solution...
Corrigé
  1. Voici un arbre de probabilité convenable.
    surbooking
    $\{T;I\}$ constitue une partition de l'univers.
    On sait que $p(P)=p(T∩P)+p(I∩P)$ (par application de la formule des probabilités totales).
    Soit: $p(P)=p(T)×p_T(P)+p(I)×p_I(P)$
    Soit: $p(P)=0,20×0,96+0,80×0,90$
    Et donc: $p(P)=0,916$

  2. On cherche: $p_P(I)={p(I∩P)}/{p(P)}={0,80×0,90}/{0,916}≈$$0,786$

  3. Le directeur sait qu'il ne peut accueillir que 100 clients. Mais il a accordé 106 réservations. Soit X la variable aléatoire qui dénombre les clients qui se présentent à l'hôtel.
    L'expérience consiste à répéter 106 fois de manière indépendante une expérience à 2 issues: $P$ et $\ov P$, et on a $p(P)=0,916$.
    On en déduit que X suit une loi binomiale de paramètres $n=106$ et $p=0,916$.

  4. On cherche: $p(X=106)=0,916^{106}≈$$9×10^{-5}$

  5. On cherche: $p(X≥101)=p(101≤X≤106)=p(X≤106)-p(X≤100)≈1-0,89≈$$0,11$

  6. On cherche le plus grand entier $n$ tel que $p(Y≤100)≥0,99$, où Y est la binomiale de paramètres $n$ inconnu et $p=0,916$.
    Par essais successifs, on obtient:
    pour $n=104$, $p(Y≤100)≈0,979$
    pour $n=103$, $p(Y≤100)≈0,994$.
    Donc le directeur doit accorder au plus 103 réservations pour être certain à $99\%$ que tous les clients qui se présenteront à l'hôtel auront une chambre.
Réduire...

Copyright 2013 - maths-bac.com - Toute reproduction interdite - Tous droits réservés.