Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli
A SAVOIR: le cours sur Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli, et La fonction ln (pour la dernière question)
Exercice 4
Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d'un nouveau forfait à sa clientèle,
composée à 65% d’hommes.
Des études préalables ont montré que 30% des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés).
Parmi les femmes, 60% écoutent les explications.
On admet que ces proportions restent stables.
Partie A
On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d’être choisie.
On note:
H l’évènement « la personne choisie est un homme »,
F l’évènement « la personne choisie est une femme »,
E l’évènement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur »
$E↖{-}$ est l’évènement contraire de E.
1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.
2.a. Traduire par une phrase l'évènement $E∩F$ et calculer sa probabilité.
2.b. Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405.
2.c. Le démarcheur s’adresse à une personne qui l’écoute.
Quelle est la probabilité que ce soit un homme?
On donnera le résultat arrondi au centième.
Partie B
Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12% des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.
Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour.
On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne 5 souscriptions un jour donné.
On arrondira le résultat au centième.
3. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne au moins une souscription un jour donné.
On donnera une valeur arrondie au dix millième.
4. En résolvant une inéquation, déterminer le nombre minimal de
clients à contacter pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux ne souscrive pas à ce nouveau forfait soit strictement supérieure à 0,99.
Solution...
Corrigé
Partie A
1. Arbre de probabilité complété.
2.a. $E∩F$: « la personne choisie est une femme qui écoute les explications du démarcheur »
$p(E∩F)=p(F∩E)=p(F)×p_F(E)=0,35×0,60=0,21$
2.b. La probabilité cherchée est $p(E)=p(H∩E)+p(F∩E)$ (par application de la formule des probabilités totales).
Soit: $p(E)=p(H)×p_H(E)+0,21$
Soit: $p(E)=0,65×0,30+0,21=0,195+0,21=0,405$.
2.c. La probabilité cherchée est $p_{E}(H)={p(H∩E)}/{p(E)}={0,195}/{0,405}≈0,48$.
Partie B
1. L'expérience consiste à répéter 60 fois de manière indépendante une expérience à 2 issues:
S: "la personne souscrit au forfait"
E:" la personne ne souscrit pas au forfait".
On a $p(S)=0,12$.
X dénombre les succès.
On en déduit que X suit une loi binomiale de paramètres $n=60$ et $p=0,12$.
2. A la calculatrice, on obtient: $p(X=5)≈0,120$.
3. On cherche $p(X≥1)$.
Or $p(X≥1)=1-p(X\text"<"1)=1-p(X=0)$.
Et à la calculatrice, on obtient: $p(X=0)≈0,0005$.
Donc $p(X≥1)≈0,9995$.
4. Cette fois-ci, X suit une loi binomiale de paramètres $n$ (que l'on cherche) et $p=0,12$.
On veut que : $p(X≤n-1)>0,99$.
Or $p(X≤n-1)=1-p(X=n)=1-0,12^n$.
Donc on résout l'inéquation (1) : $1-0,12^n>0,99$ $ ⇔$ $0,01>0,12^n$
Soit : (1) $ ⇔$ $\ln 0,01>\ln 0,12^n$
Soit : (1) $⇔$ $\ln 0,01>n\ln 0,12$
Soit : (1) $⇔$ ${\ln 0,01}/{\ln 0,12} < n$ (Attention! Comme $\ln 0,12 < 0$, l'inégalité change de sens.)
Or : ${\ln 0,01}/{\ln 0,12}≈2,17$
Donc il suffit de contacter au moins 3 clients pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux ne souscrive pas à ce nouveau forfait
soit strictement supérieure à 0,99.