La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Dérivation

A SAVOIR: le cours sur la dérivation

Exercice 1

On pose: $u(x)={1}/{x}+3$, définie sur $]0;+∞[$.
On pose: $v(x)=(x-2)^2+5$, définie sur $\ℝ$

  1. Montrer que la composée $v o u$ existe et est définie sur $]0;+∞[$.
  2. Déterminer l'expression de $v o u(x)$ pour tout $x$ de $]0;+∞[$.
  3. Montrer que la composée $u o v$ existe et est définie sur $\ℝ$.
  4. Déterminer l'expression de $u o v(x)$ pour tout $x$ de $\ℝ$.
Solution...
Corrigé
  1. L'existence de $v o u$ ne pose pas de problème car, pour tout $x$ de $]0;+∞[$, $u(x)$ appartient évidemment à $\ℝ$.

  2. $v o u(x)=v(u(x))=(u(x)-2)^2+5=({1}/{x}+3-2)^2+5=({1}/{x}+1)^2+5$

  3. On note que, pour tout $x$ de $\ℝ$, $v(x)$ appartient à $]0;+∞[$ (car le minimum de $v$ est clairement 5).
    Donc $u o v$ existe. Elle est définie sur $\ℝ$.

  4. $u o v(x)=u(v(x))={1}/{v(x)}+3={1}/{(x-2)^2+5}+3$
Réduire...

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