Dérivation
A SAVOIR: le cours sur la dérivation
Exercice 1
On pose: $u(x)={1}/{x}+3$, définie sur $]0;+∞[$.
On pose: $v(x)=(x-2)^2+5$, définie sur $\ℝ$
- Montrer que la composée $v o u$ existe et est définie sur $]0;+∞[$.
- Déterminer l'expression de $v o u(x)$ pour tout $x$ de $]0;+∞[$.
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Montrer que la composée $u o v$ existe et est définie sur $\ℝ$.
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Déterminer l'expression de $u o v(x)$ pour tout $x$ de $\ℝ$.
Corrigé
- L'existence de $v o u$ ne pose pas de problème car, pour tout $x$ de $]0;+∞[$, $u(x)$ appartient évidemment à $\ℝ$.
- $v o u(x)=v(u(x))=(u(x)-2)^2+5=({1}/{x}+3-2)^2+5=({1}/{x}+1)^2+5$
-
On note que, pour tout $x$ de $\ℝ$, $v(x)$ appartient à $]0;+∞[$ (car le minimum de $v$ est clairement 5).
Donc $u o v$ existe. Elle est définie sur $\ℝ$. -
$u o v(x)=u(v(x))={1}/{v(x)}+3={1}/{(x-2)^2+5}+3$