Corrigé

1. $f(x)=5e^{-x^2+1}$ sur $I=\R$.
   On pose $f=ke^u$ avec $k=5$ et $u=-x^2+1$.
   D'où $f\,'=ku'e^u$ avec $u'=-2x$.
   Soit $f\,'(x)=5×(-2x)×e^{-x^2+1}=-10xe^{-x^2+1}$.
   $f\,'$ est un produit de 2 facteurs.
   $-10x$ est linéaire, de coefficient $-10$ strictement négatif, et s'annule pour $x=0$.
   $e^{-x^2+1}$ est une exponentielle, et donc strictement positive.
   D'où le tableau de variation de $f$ sur I.
   
2. $f(x)=e^{5x+1}+6x$ sur $I=\R$.
   On pose $f=e^u+6x$ avec $u=5x+1$.
   D'où $f\,'=u'e^u+6$ avec $u'=5$.
   Soit $f\,'(x)= 5e^{5x+1}+6$.
   $f\,'$ est une somme de termes.
   L'exponentielle $e^{5x+1}$ est strictement positive et 5 également.
   Donc le premier terme $5e^{5x+1}$ est strictement positif.
   Or le second terme 6 est strictement positif.
   Donc $f\,'$ est strictement positive.
   D'où le tableau de variation de $f$ sur I.
   
3. $f(x)=e^{5x+1}-6x$ sur $I=\R$.
   On pose $f=e^u-6x$ avec $u=5x+1$.
   D'où $f\,'=u'e^u-6$ avec $u'=5$.
   Soit $f\,'(x)= 5e^{5x+1}-6$.
   $f\,'$ est une somme de termes.
   Mais $5e^{5x+1}\text">"0$ alors que $-6\text"<"0$.
   On va chercher pour quels $x$ l'expression $5e^{5x+1}-6$ est positive.
   Par conséquent, on résout $5e^{5x+1}-6\text">"0$.
   Soit $5e^{5x+1}-6\text">"0⇔5e^{5x+1}\text">"6⇔e^{5x+1}\text">"{6}/{5}$
   Soit $5e^{5x+1}-6\text">"0⇔\ln(e^{5x+1})\text">"\ln({6}/{5})⇔5x+1\text">"\ln(1,2)$
   Soit $5e^{5x+1}-6\text">"0⇔5x\text">"\ln(1,2)-1⇔x\text">"{\ln(1,2)-1}/{5}$
   De même, on obtient $5e^{5x+1}-6=0⇔x={\ln(1,2)-1}/{5}$
   D'où le tableau de variation de $f$ sur I.
   
4. $f(x)=5x\ln x+x$ sur $I=]0;+∞[$.
   On pose $f=uv+x$ avec $u=5x$ et $v=\ln x$.
   D'où $f\,'=u'v+uv'+1$ avec $u'=5$ et $v'={1}/{x}$.
   Soit $f\,'(x)=5\lnx +5x{1}/{x}+1=5\ln x+5+1=5\ln x+6$.
   $f\,'$ est une somme de termes.
   6>0, mais le signe de $5\ln x$ est variable.
   On va chercher pour quels $x$ l'expression $5\ln x+6$ est positive.
   Par conséquent, on résout $5\ln x+6\text">"0$.
   $5\ln x+6\text">"0⇔\ln x\text">"{-6}/{5}⇔e^{\ln x}\text">"e^{{-6}/{5}}⇔x\text">"e^{-1,2}$.
   De même, on obtient $5\ln x+6=0⇔x=e^{-1,2}$.
   D'où le tableau de variation de $f$ sur I.