Corrigé

1. Dérivons $n(x)=2√{x^2+1}+(3x+1)^2$
On pose $u=x^2+1$. Donc $u\,'=2x$.
De même $w=3x+1$. Donc $w\,'=3$.
Ici $n=2√{u}+w^2$ et donc $n\,'=2{u\,'}/{2√{u}}+2w\,'w$.
Donc $n\,'(x)=2 ×{2x}/{2√{x^2+1}}+2 ×3 ×(3x+1)={2x}/{√{x^2+1}}+18x+6$.
Malheureusement, $n\,'(x)$ est une somme. Or le signe d'une somme n'est évident que si tous les termes sont de même signe. Mais nous allons montrer qu'ici, c'est le cas!
$√{x^2+1}$ est strictement positif pour tout $x$.
Or, sur $I$: $2x$>$0$.
Donc, sur $I$, le quotient ${2x}/{√{x^2+1}}$ est strictement positif.
Par ailleurs, sur $I$: $18x+6$>$0$.
Donc les deux termes constituant $n\,'(x)$ sont strictement positifs sur $I$.
Et finalement, sur $I$, $n\,'(x)$>$0$.
Donc $n$ est strictement croissante sur I.

2. Dérivons $o(x)=(\sin x)^2$
On pose $u=\sin x$. Donc $u\,'=\cos x$.
ici $o= u^2$. Donc $o\,'=2u\,'u$.
Donc $o\,'(x)=2×\cos x×\sin x$.
$o\,'(x)$ est un produit de 3 facteurs dont nous allons trouver les signes.
On a: $2$>$0$.
Sur $I$: $\cos x$<$0$.
Sur $I$: $\sin x$>$0$.
Finalement, sur $I$, $o\,'(x)$<$0$.
Donc $o$ est strictement décroissante sur I.

3. Dérivons $p(x)=\ln (-3x+5)$
On pose $u(x)=-3x+5$. Donc $u\,'(x)=-3$.
ici $p(x)= \ln u$. Donc $p\,'(x)={u\,'}/{u}$.
Donc $p\,'(x)={-3}/{-3x+5}$.
$p\,'(x)$ est un quotient dont nous allons trouver les signes du dénominateur et du numérateur.
La fonction affine $-3x+5$ s'annule en ${5}/{3}$, et est strictement positive pour $x$<${5}/{3}$.
Donc, sur I: $-3x+5$>$0$.
Or $p\,'$ a pour numérateur $-3$ qui est strictement négatif.
Finalement, sur $I$, $p\,'(x)$<$0$.
Donc $p$ est strictement décroissante sur I.