La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Dérivation

A SAVOIR: le cours sur la dérivation

Exercice 4

Cet exercice utilise des fonctions vues en terminale,
en particulier la question 3., qui utilise la fonction logarithme népérien.

Déterminer la dérivée de la fonction, puis le signe de sa dérivée, puis le sens de variation de la fonction sur l'intervalle I dans chacun des cas suivants:

  1. logo de maths-bac $n(x)=2√{x^2+1}+(3x+1)^2$ avec $I=]0;2]$
  2. $o(x)=(\sin x)^2$ avec $I=]{π}/{2};π[$
  3. $p(x)=\ln (-3x+5)$ avec $I=[0;{5}/{3}[$

Solution...
Corrigé

1. Dérivons $n(x)=2√{x^2+1}+(3x+1)^2$
On pose $u=x^2+1$. Donc $u\,'=2x$.
De même $w=3x+1$. Donc $w\,'=3$.
Ici $n=2√{u}+w^2$ et donc $n\,'=2{u\,'}/{2√{u}}+2w\,'w$.
Donc $n\,'(x)=2 ×{2x}/{2√{x^2+1}}+2 ×3 ×(3x+1)={2x}/{√{x^2+1}}+18x+6$.
Malheureusement, $n\,'(x)$ est une somme. Or le signe d'une somme n'est évident que si tous les termes sont de même signe. Mais nous allons montrer qu'ici, c'est le cas!
$√{x^2+1}$ est strictement positif pour tout $x$.
Or, sur $I$: $2x$>$0$.
Donc, sur $I$, le quotient ${2x}/{√{x^2+1}}$ est strictement positif.
Par ailleurs, sur $I$: $18x+6$>$0$.
Donc les deux termes constituant $n\,'(x)$ sont strictement positifs sur $I$.
Et finalement, sur $I$, $n\,'(x)$>$0$.
Donc $n$ est strictement croissante sur I.


2. Dérivons $o(x)=(\sin x)^2$
On pose $u=\sin x$. Donc $u\,'=\cos x$.
ici $o= u^2$. Donc $o\,'=2u\,'u$.
Donc $o\,'(x)=2×\cos x×\sin x$.
$o\,'(x)$ est un produit de 3 facteurs dont nous allons trouver les signes.
On a: $2$>$0$.
Sur $I$: $\cos x$<$0$.
Sur $I$: $\sin x$>$0$.
Finalement, sur $I$, $o\,'(x)$<$0$.
Donc $o$ est strictement décroissante sur I.


3. Dérivons $p(x)=\ln (-3x+5)$
On pose $u(x)=-3x+5$. Donc $u\,'(x)=-3$.
ici $p(x)= \ln u$. Donc $p\,'(x)={u\,'}/{u}$.
Donc $p\,'(x)={-3}/{-3x+5}$.
$p\,'(x)$ est un quotient dont nous allons trouver les signes du dénominateur et du numérateur.
La fonction affine $-3x+5$ s'annule en ${5}/{3}$, et est strictement positive pour $x$<${5}/{3}$.
Donc, sur I: $-3x+5$>$0$.
Or $p\,'$ a pour numérateur $-3$ qui est strictement négatif.
Finalement, sur $I$, $p\,'(x)$<$0$.
Donc $p$ est strictement décroissante sur I.

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