Corrigé

On calcule $f'(x)$.
$f(x)=4e^{3x-6}+2x$
On pose $f=4e^u+2x$ avec $u=3x-6$.
D'où $f\,'=4u'e^u+2$ avec $u'=3$.
Soit $f\,'(x)= 12e^{3x-6}+2$.
On obtient alors: $f'(2)= 12e^{0}+2=12+2=14$
Par ailleurs, on a: $f(2)=4e^{0}+4=8$
Or la tangente $t$ à $\C_f$ en 2 a pour équation: $y=f(2)+f'(2)(x-2)$
Donc $t$ a pour équation: $y=8+14(x-2)$
Soit: $y=14x-20$

On a vu que: $f\,'(x)= 12e^{3x-6}+2$.
On calcule $f"(x)$.
Comme ci-dessus, on obtient: $f''(x)=12×3e^{3x-6}+0=36e^{3x-6}$
Or l'exponentielle $e^{3x-6}$ est strictement positive et 36 également.
Donc $f"$ est strictement positive.
Et par là, $f$ est convexe sur $\R$.

Très souvent, les inégalités à démontrer apès étude de la convexité utilisent la position de la courbe par rapport à ses tangentes. Comme $f$ est convexe sur $\R$, sa courbe représentative $\C_f$ y est au dessus de toutes ses tangentes, en particulier au dessus de la tangente $t$.
Par conséquent, pour tout $x$ de $\R$, on a: $f(x)≥14x-20$
Donc: $4e^{3x-6}+2x≥14x-20$
Donc: $4e^{3x-6}≥12x-20$
Et donc: $e^{3x-6}≥3x-5$