Oral second groupe
L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base.
Montrez donc que vous savez votre cours. Si vous séchez, n'hésitez pas à proposer des pistes de réflexion;
l'interrogateur vous guidera. Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.
SUJET 1
Exercice 1
L'espace est muni d'un repère orthonormal.
Soit le point A de coordonnées (1 ; -1 ; 2).
Soit le point B de coordonnées (0 ; 3 ; 1).
Soit le point C de coordonnées (2 ; 4 ; 0).
On admet que (BC) a pour représentation paramétrique $\{\table x=2t;y=3+t; z=1-t$
Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A et orthogonal à (BC).
Déterminer les coordonnées de H, projeté orthogonal de A sur (BC).
Exercice 2
Soit $f$ définie sur $\D_f$ par $f(x)=1-\ln (2x+1)$.
Quel est le domaine de définition $\D_f$ de la fonction $f$?
Résoudre l'inéquation $f(x)≥5$.
facultatif: Déterminer le coefficient directeur de la tangente $t$ à $\C_f$ en 1.
Corrigé
Exercice 1
A savoir!Déterminer une équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal.
Déterminer les coordonnées d'un point situé à l'intersection d'un plan et d'une droite.
On obtient: ${BC}↖{→}(\,2\,;\,1\,;\,-1\,)$.
Comme le plan P est orthogonal à (BC), il admet une équation cartésienne du type $2x+y-z+d=0$.
Et comme P passe par A(1 ; -1 ; 2), on a: $2×1+(-1)-2+d=0$.
Et par là: $d=1$.
Donc P a pour équation cartésienne $2x+y-z+1=0$.
H(x;y;z), projeté orthogonal de A sur (BC), est donc sur P et (BC).
Donc: $2x+y-z+1=0$, et il existe $t$ tel que: $\{\table x=2t;y=3+t; z=1-t$
D'où: $2×(2t)+(3+t)-(1-t)+1=0$
Soit: $4t+3+t-1+t+1=0$
Et par là: $t={-3}/{6}={-1}/{2}$
Et donc: $\{\table x=2×{-1}/{2};y=3+{-1}/{2}; z=1-{-1}/{2}$
Donc: $H(-1 ; 2,5 ; 1,5)$
Exercice 2
A savoir!$ln x$ n'existe que pour $x>0$.
Résoudre une inéquation dans laquelle apparaît la fonction $ln$.
$f(x)$ est défini si et seulement si $2x+1>0$, c'est à dire pour $x>-0,5$.
Donc $\D_f=]-0,5;+∞[$.
Soit (E) l'inéquation $f(x)≥5$.
Le domaine d'étude est $\D_f$.
(E) $⇔$ $-\ln (2x+1)≥5-1$ $⇔$ $-\ln (2x+1)≥4$ $⇔$ $\ln (2x+1)≤-4$ $⇔$ $e^{\ln (2x+1)}≤e^{-4}$
Soit: (E) $⇔$ $2x+1≤e^{-4}$ $⇔$ $x≤{e^{-4}-1}/{2}$.
Notons que ${e^{-4}-1}/{2}≈-0,49$, et par là: $0,5<{e^{-4}-1}/{2}$.
Donc $\S=]-0,5;{e^{-4}-1}/{2}]$.
On cherche $f\,'(1)$.
Ici, $f=1-\ln u$ avec $u=2x+1$. Donc $f\,'=0-{u'}/{u}$ avec $u'=2$.
Donc $f\,'(x)=-{2}/{2x+1}$.
Et par là $f\,'(1)=-{2}/{2×1+1}={-2}/{3}$.
$t$ a pour coefficient directeur ${-2}/{3}$.