Oral second groupe
L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base.
Montrez donc que vous savez votre cours. Si vous séchez, n'hésitez pas à proposer des pistes de réflexion;
l'interrogateur vous guidera. Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.
SUJET 4
Exercice 1
Soit $λ$ un réel strictement positif.
- Résoudre sur $[0;+\∞[$ l'inéquation: $2e^{-λt}-1>0$ (1).
- On pose: $f(t)= e^{-λt}-e^{-λ2t}$.
Dériver $f$ et montrer que $f\,'(t)=λe^{-λt}(2e^{-λt}-1)$.
Montrer que $f$ admet un maximum.
Pour quelle valeur $t_d$ de $t$ ce maximum est_il atteint?
Exercice 2
Une machine génère 6 valeurs entières aléatoires comprises (au sens large) entre 11 et 30.
Soit X le nombre de valeurs strictement supérieures à 25.
Déterminer $p(X>4)$ (arrondie à 0,001 près).
Corrigé
Exercice 1
A savoir!Résoudre une inéquation dans laquelle apparaît la fonction exponentielle.
La dérivée de $e^u$.
Déterminer le signe d'une expression en factorisant.
Une exponentielle est strictement positive.
Relier le signe de la dérivée $f'$ au sens de variation de la fonction $f$.
Repérer un maximum (qui est une image, et non pas un antécédent).
- Le domaine d'étude est $[0;+\∞[$.
(1) $⇔$ $2e^{-λt}-1>0$ $⇔$ $e^{-λt}>{1}/{2}$
Soit: (1) $⇔$ $\ln(e^{-λt})>\ln{1}/{2}$ $⇔$ $-λt>-\ln 2$ $⇔$ $t<{-\ln2}/{-λ}$
Noter le changement de sens de l'inégalité car $-λ\text"<"0$.
On a donc obtenu: (1) $⇔$ $t<{\ln2}/{λ}$.
Donc $\S=[0; {\ln2}/{λ}[$. - On a: $f(t)= e^{-λt}-e^{-λ2t}$.
On rappelle que $e^u$ a pour dérivée $u'e^u$.
Donc: $f\,'(t)=(-λ)e^{-λt}-(-λ2)e^{-λ2t}$.
Pour déterminer le signe de cette expression, nous la factorisons.
$f\,'(t)=-λe^{-λt}+2λe^{-λt}e^{-λt}=λe^{-λt}(-1+2e^{-λt})=λe^{-λt}(2e^{-λt}-1)$.
On a: $λ>0$ et $e^{-λt}>0$. Donc $f\,'(t)$ est du signe de $2e^{-λt}-1$.
Or, d'après le 1., on a: $2e^{-λt}-1>0$ $⇔$ $t<{\ln2}/{λ}$.
Donc $f\,'$ est strictement positive sur $[0; {\ln2}/{λ}[$, et $f$ y est donc strictement croissante.
De même, on montrerait que $f\,'$ est strictement négative sur $]{\ln2}/{λ};+\∞[$, et $f$ y est donc strictement décroissante.
Et pour finir, $f\,'({\ln2}/{λ})=0$, et $\C_f$ y admet donc une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
Finalement, $f\'$ s'annule en changeant de signe en $t_d={\ln2}/{λ}$. Elle y admet donc un extremum, et d'après ce qui précède, cet extremum est un maximum.
Exercice 2
A savoir!Reconnaître une loi binomiale.
Utiliser correctement sa calculatrice pour des questions sur la binomiale.
Les valeurs possibles sont 11, 12, ... ,29, 30. Elles sont au nombre de 20.
Les valeurs strictement supérieures à 25 sont 26, 27, 28, 29, 30. Elles sont au nombre de 5.
La probabilité qu'une valeur soit strictement supérieures à 25 vaut donc ${5}/{20}=0,25$.
X suit une loi binomiale de paramètres 6 et 0,25.
On cherche donc $p(X>4)=1-p(X≤4)≈1-0,995≈0,005$ (à la calculatrice).