Oral second groupe
L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base.
Montrez donc que vous savez votre cours. Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.
SUJET 6
Exercice 1
Soit $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(x)=x^3-2x^2+x$.
- Etudier la convexité de la fonction $f$ .
- Déterminer le point d'inflexion A de $\C_f$.
Exercice 2
Gontran place $10\,000$ euros à intérêts composés au taux annuel de 1,75%.
Soit $u_n$ son capital (en euros) au bout de $n$ années. Ainsi, $u_0=10\,000$.
1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$.
2. Qu'en déduire concernant la suite $(u_n)$?
3. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
4. Donner le sens de variation de $(u_n)$ ainsi que sa limite.
5. facultatif: Gontran prétend que l'algorithme suivant permet de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>15\,000$.
Affecter à N la valeur 0
Affecter à U la valeur $10\,000$
Tant que U$≤15\,000$
Affecter à U la valeur U$× 1,0175^N$
Fin du Tant que
Afficher N
Modifier l'algorithme pour qu'il fonctionne correctement..
Solution...
Corrigé
Exercice 1
A savoir!Déterminer la convexité d'une fonction grâce au signe de sa dérivée seconde.
Le signe de $ax+b$.
Repérer un point d'inflexion.
- $f\,'(x)=3x^2-2×2x+1=3x^2-4x+1$.
$f"(x)=3×2x-4=6x-4$.
$f"$ est une fonction affine, à coefficient directeur strictement positf, et qui s'annule pour $x={4}/{6}={2}/{3}$.
Donc $f"$ est strictement négative sur $[0;{2}/{3}[$, et par là, $f$ y est concave.
Et $f"$ est strictement positive sur $]{2}/{3}; 2]$, et par là, $f$ y est convexe. -
Enfin, on note que $f"$ s'annule en changeant de signe en ${2}/{3}$.
Et par là, $\C_f$ admet un point d'inflexion A en ${2}/{3}$.
Comme $f({2}/{3})=({2}/{3})^3-2({2}/{3})^2+{2}/{3}={8}/{27}-{8}/{9}+{2}/{3}={2}/{27}$, le point d'inflexion A a pour coordonnées $({2}/{3};{2}/{27})$.
Exercice 2
A savoir!Relier pourcentagede hausse et coefficient multiplicateur.
Montrer qu'une suite est géométrique.
Connaître la formule explicite d'une suite géométrique.
Déterminer limite et sens de variation d'une suite géométrique.
1.a. Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=u_n+{1,75}/{100}×u_n=(1+{1,75}/{100})×u_n=1,0175×u_n$.
1.b. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 1,0175 de premier terme $u_0=10\,000$.
1.c. Et par là, pour tout naturel $n$: $u_n=10\,000× 1,0175^n$.
1.d. Comme $1<1,0175$, alors $(1,0175^n)$ est strictement croissante.
Et comme $10\,000>0$, $(u_n)$ est également strictement croissante.
Par ailleurs:
Comme 1,0175>1, on a: $\lim↙{n→+∞}(1,0175^n)=+∞$.
Or $10\,000>0$. Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=+∞$.
2.a. Nous proposons deux algorithmes possibles.
Le premier utilise
la formule de récurrence.
Affecter à N la valeur 0
Affecter à U la valeur $10\,000$
Tant que U$≤15\,000$
Affecter à U la valeur U$× 1,0175$
Augmenter N de 1
Fin du Tant que
Afficher N
Le second utilise
la formule explicite.
Affecter à N la valeur 0
Tant que $10\,000× 1,0175^N≤15\,000$
Augmenter N de 1
Fin du Tant que
Afficher N