Corrigé

Exercice 1

A savoir!
Montrer qu'une suite est géométrique.
Connaître la formule explicite d'une suite géométrique.
Déterminer limite d'une suite géométrique.

Pour information, $(u_n)$ est arihmético-géométrique de paramètres $0,6$ et $12,5$.

1. Soit $n$ un entier naturel; $v_{n+1}=u_{n+1}-12,5=0,6×u_n+5-12,5=0,6×u_n-7,5$.
Or: $0,6×v_n=0,6×(u_n-12,5)=0,6×u_n-0,6×12,5=0,6×u_n-7,5$.
Donc: $v_{n+1}=0,6×v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0,6$.
Notons que son premier terme est $v_0=u_0-12,5=10-12,5=-2,5$.

2. On obtient alors: $v_n=v_0×0,6^n=-2,5×0,6^n$.
Par ailleurs, $v_n=u_n-12,5$ donne $v_n+12,5=u_n$.
Finalement, on obtient: $-2,5×0,6^n+12,5=u_n$.

3. Comme $0<0,6<1$, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,6^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=12,5$.

Exercice 2

A savoir!
Les dérivées de $uv$ et de $\ln u$.
Résoudre une inéquation dans laquelle apparaît la fonction $ln$.
Relier le signe de la dérivée $f'$ au sens de variation de la fonction $f$.

• On pose $f=uv-2x$ avec $u=x$ et $v=\ln x$.
  Donc $f\,'=u'v+uv'-2$ avec $u'=1$ et $v'={1}/{x}$.
  Donc $f\,'(x)=1×\ln x+x×{1}/{x}-2=\ln x+1-2=\ln x-1$.
• On cherche le signe de $f\,'$.
  $f\,'(x)>0 ⇔ \ln x-1 >0 ⇔ \ln x >1 ⇔e^{ln x}>e^1 ⇔x >e^1 ⇔ x> e$.
  Donc $f\,'$ est strictement positive pour $x$ strictement supérieur à $e$ (rappel: $e≈2,72$).
  Il est alors évident que $f\,'$ est strictement négative pour $x$ strictement inférieur à $e$, et en particulier sur $]0;2]$.
  Et par là, $f$ est strictement décroissante sur $]0;2]$.