Primitives et équations différentielles
A SAVOIR: le cours sur les primitives et équations différentielles
Exercice 5
Soit $g$ définie par $$g(x)=\ln x$$ sur $]0;+∞[$.
Soit $h$ définie par $$h(x)=x\ln x-x+1$$ sur $]0;+∞[$.
Montrer que $h$ est la primitive de $g$ sur $]0;+∞[$ qui s'annule en 1.
Corrigé
Il suffit de montrer que $h'=g$ sur $]0;+∞[$, et que $h(1)=0$.
On a $h=uv-x+1$ avec $u=x$, $v=\ln x$, et par là: $u'=1$ et $$v'=1/x$$
Donc $h'=u'v+uv'-1$.
Soit: $$h'(x)=1\ln x+x{1}/{x}-1=\ln x+1-1=\ln x=g(x)$$.
Par conséquent, $h'=g$ sur $]0;+∞[$, et $h$ est donc une primitive de $g$ sur $]0;+∞[$.
Par aileurs: $h(1)=1\ln 1-1+1=0$.
Donc $h$ est la primitive de $g$ sur $]0;+∞[$ qui s'annule en 1.