La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Primitives et équations différentielles

A SAVOIR: le cours sur les primitives

Exercice 6

On considère l'équation différentielle (E): $y' =y+1-x$ sur ℝ.

  1. Proposer une fonction $g$ définie sur ℝ qui est solution de l'équation (E).
  2. Montrer que $f$ est solution de (E) équivaut à $f – g$ solution de (E'): $y'=y $.
  3. En déduire les solutions de (E).
Solution...

Corrigé
  1. On note que (E) $ ⇔$ $y'-y=1-x$
    Il est alors évident que la fonction $g(x)=x$ est solution de (E).
    Pour les sceptiques: $g'(x)-g(x)=1-x$

  2. $f$ est solution de (E) si et seulement si $f'(x)=f(x)+1 – x$
    si et seulement si $f'(x)-f(x)=1-x$
    si et seulement si $f'(x)-f(x)=g'(x)-g(x)$
    si et seulement si $f'(x)-g'(x)=f(x)-g(x)$
    si et seulement si $f – g$ solution de (E'): $y' = y $.

  3. Or les solutions de $y' = y $ sont les fonctions $ke^{x}$ (où k est un réel quelconque).
    Par conséquent: $f(x)-g(x)=ke^{x}$ (où k est un réel quelconque)
    Et par là: $f(x)=g(x)+ke^{x}$
    Donc les fonctions $f(x)= x+ke^{x}$ (où k est un réel quelconque) sont les solutions de (E).
Réduire...


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