La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Exercice 1

L'espace est muni d'un repère (orthonormal si cela vous fait plaisir).
Soit $d_1$ la droite passant par A(1,2,-1) et de vecteur directeur ${u}↖{→}$( -1 ; 2 ; 0 ).
Soit $d_2$ la droite passant par B(2,0,0) et C(0,1,2).
Soit $d_3$ la droite de représentation paramétrique $\{\table x=-t; y=1+2t; z=2$
Soit $d_4$ la droite passant par F(4,-1,-2) et parallèle à $d_1$
1. Déterminer une équation paramétrique de $d_1$.
2. Déterminer une équation paramétrique de $d_2$.
3. Donner un point et un vecteur directeur de $d_3$.
4. Déterminer une équation paramétrique de $d_4$.
5. $d_1$ et $d_2$ sont-elles coplanaires?
6. $d_1$ et $d_3$ sont-elles coplanaires?
7. $d_2$ et $d_4$ sont-elles coplanaires? Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection E.

Solution...
Corrigé

1. $d_1$ passe par A( 1 ; 2 ; -1 ) et a pour vecteur directeur ${u}↖{→}$( -1 ; 2 ; 0 ),
donc elle admet pour représentation paramétrique $\{\table x=1-t; y=2+2t;z=-1$

2. On obtient facilement: ${BC}↖{→}$( -2 ; 1 ; 2 ).
$d_2$ passe par B( 2 ; 0 ; 0 ) et a pour vecteur directeur ${BC}↖{→}$( -2 ; 1 ; 2 ),
Donc elle admet pour représentation paramétrique $\{\table x=2-2t; y=t;z=2t$

3. $d_3$ a pour représentation paramétrique $\{\table x=-2t; y=1+4t; z=2$
Donc $d_3$ passe par E( 0 ; 1 ; 2) et elle a pour vecteur directeur ${w}↖{→}$( -2 ; 4 ; 0 ).

4. $d_1$ a pour vecteur directeur ${u}↖{→}$( -1 ; 2 ; 0 ).
Or $d_4$ est parallèle à $d_1$
Donc $d_4$ a aussi pour vecteur directeur ${u}↖{→}$( -1 ; 2 ; 0 ).
Or $d_4$ passe par F( 3 ; 1 ; -2)
Donc elle admet pour représentation paramétrique $\{\table x=3-t; y=1+2t;z=-2$

4. $d_1$ et $d_2$ ont des vecteurs directeurs ${u}↖{→}$( -1 ; 2 ; 0 ) et ${BC}↖{→}$( -2 ; 1 ; 2 ) qui ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles).
Donc elles ne sont pas parallèles.
Donc ces droites sont:
soit non coplanaires,
soit coplanaires et sécantes.
Or, les coordonnées d'un point appartenant aux deux droites vérifient les deux équations paramétriques.
On résout alors: $\{\table 1-t=2-2t'; 2+2t=t'; -1=2t'$
On note les paramètres portant des noms différents t et t' (car il n'y a pas de raison qu'ils soient égaux). On cherche ici un couple (t,t') solution du système.
On obtient: $\{\table 1-t=2-2t'; 2+2t=t'; t'=-0.5$
Soit: $\{\table 1-t=3;2+2t=-0.5; t'=-0.5$
Soit: $\{\table t=-2;t=-1.25; t'=-0.5$
Les deux premières égalités sont absurdes. Donc le système n'a pas de solution. Donc $d_1$ et $d_2$ n'ont pas de point commun.
Par conséquent, $d_1$ et $d_2$ ne sont pas coplanaires.

5. $d_1$ et $d_3$ ont des vecteurs directeurs ${u}↖{→}$( -1 ; 2 ; 0 ) et ${w}↖{→}$( -2 ; 4 ; 0) qui sont colinéaires (${u}↖{→}=2.{w}↖{→}$).
Donc $d_1$ et $d_3$ sont parallèles.
Par conséquent, $d_1$ et $d_3$ sont coplanaires.

6. $d_2$ et $d_4$ ont des vecteurs directeurs ${BC}↖{→}$( -2 ; 1 ; 2 ) et ${u}↖{→}$( -1 ; 2 ; 0 ).
qui ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles).
Donc elles ne sont pas parallèles.
Donc ces droites sont soit non coplanaires, soit coplanaires et sécantes.
On résout alors: $\{\table 2-2t=3-t'; t=1+2t'; 2t=-2$
Soit: $\{\table 2-2t=3-t'; t=1+2t'; t=-1$
Soit: $\{\table 4=3-t'; -1=1+2t'; t=-1$
Soit: $\{\table t'=-1; t'=-1; t=-1$
On note les paramètres t et t' sont ici égaux. Ce cas est rare.
On constate que le système a une solution unique, le couple (-1;-1). Donc $d_1$ et $d_2$ sont sécantes.
Par conséquent, $d_1$ et $d_2$ sont coplanaires.

En prenant t=-1 dans l'équation paramétrique de $d_2$, on obtient: $\{\table x=4; y=-1;z=-2$
Donc $d_1$ et $d_2$ se coupent en E (4 ; -1 ; -2)

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