Lois à densité
A SAVOIR: le cours sur la densité
Exercice 5
1. De quel type est la loi X associée à la densité $f$ représentée ci-contre?
On déterminera la valeur de $y_0$.
2. Déterminer $p(1≤X≤1,5)$.
3. Quelle est l'espérance $m$ de X?
4. Y est une loi uniforme de densité $g$ définie sur l'intervalle I.
Z est la loi exponentielle de densité $h$ de paramètre $λ$.
Les densités $g$ et $h$ sont représentées ci-dessous.
Associer à chaque densité sa représentation graphique parmi $\C_1$, $\C_2$, $\C_3$, $\C_4$ et $\C_5$.
Préciser l'intervalle I et le paramètre $λ$.
5. La variable aléatoire R suit la loi uniforme sur l'intervalle [a; 10]. Son espérance vaut 6. Que vaut $a$?
6. La variable aléatoire R est celle de la question précédente. La variable aléatoire S suit la loi uniforme sur l'intervalle [5; 9].
Jean attend deux amies Romane et Sarah. Le temps d'attente de Romane est modélisé par la variable aléatoire R, celui de Sarah par la variable aléatoire S. Les arrivées des 2 amies sont totalement indépendantes.
Quelle est la probabilité qu'au moins une des amies arrive avant 7 minutes?
Corrigé
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- $f$ est constante sur un intervalle et nulle ailleurs.
Donc X suit une loi uniforme.
L'intervalle étant [0,8;1,7], la densité $f$ est telle que $f(x)={1}/{1,7-0,8}={1}/{0,9}≈1,111$.
C'est d'ailleurs la valeur de $y_0$. - $$p(1≤X≤1,5)=∫_{1}^{1,5} f(x)dx=∫_{1}^{1,5} {1}/{0,9}dx={1}/{0,9}∫_{1}^{1,5} 1dx={1}/{0,9}[x]_{1}^{1,5}={1}/{0,9}(1,5-1)$$
Soit: $p(1≤X≤1,5)={0,5}/{0,9}≈0,556$.
Autre méthode: X suit une loi uniforme sur l'intervalle [0,8;1,7], donc $p(1≤X≤1,5)={1,5-1}/{1,7-0,8}={0,5}/{0,9}≈0,556$. - $m={1,7+0,8}/{2}=1,25$.
- Y est une loi uniforme de densité $g$ définie sur l'intervalle I.
Donc $g$ est représentée par un segment de droite "horizontal". Il ne peut s'agir que de $\C_3$ ou de $\C_5$.
Or, l'aire du rectangle situé sous la courbe doit valoir 1.
C'est le cas pour $\C_5$ (l'aire vaut $5×0,2=1$), mais pas pour $\C_3$ (l'aire vaut $4×0,4=1,6$)
Donc $g$ est représentée par $\C_5$ et est définie sur $I=[1;6]$
Z est la loi exponentielle de densité $h$ de paramètre $λ$.
La seule courbe plausible est $\C_1$. Et on obtient alors: $λ=0,6$ (ordonnée à l'origine).
5. La variable aléatoire R suit la loi uniforme sur l'intervalle [a; 10]. Or, son espérance vaut 6.
Par conséquent: ${a+10}/{2}=6$.
Et par là: $a=2$
6. Soit E l'événement: "Jean attend moins de 7 minutes".
Le contraire de cet événement est $\ov{E}$: "les deux amies arrivent dans au moins 7 minutes"
Or, on a: $p(R≥7)={10-7}/{10-2}={3}/{8}=0,375$
Et on a: $p(S≥7)={9-7}/{9-5}={2}/{4}=0,5$
Donc, comme les événements $(R≥7)$ et $(S≥7)$ sont indépendants, on obtient: $p(\ov{E})=p(R≥7)×p(S≥7)=0,375×0,5=0,1875$
Et donc: $p(E)=1-0,1875=0,8125$
La probabilité qu'une des amies arrive avant 7 minutes vaut 0,8125.