Corrigé

Soit $x_1$ et $x_a$ les antécédents respectifs de 1 et de $a$ par la fonction $f$.
Ces réels sont marqués sur le dessin ci-dessous.

Appelons $A_t$ l'aire du domaine constitué de la réunion du domaine hachuré en rouge et du domaine hachuré en noir.
Appelons $A_n$ l'aire du domaine hachuré en noir.
Nous avons donc l'égalité: $A_t=2 A_n$.
Cette égalité va nous fournir une équation dont $a$ est solution.

Mais calculons tout d'abord chacune des 2 aires.
Tu peux cliquer ICI pour revoir une propriété liant aires et intégrales.
Les aires considérées étant celles de domaines situés entre des courbes de fonctions continues positives et l'axe des abscisses, on obtient :
$$A_t=∫_{0}^{x_1} 1dx+∫_{x_1}^{1} f(x)dx$$.
Or, une primitive de $1$ est $x$, et une primitive de $f(x)$ est $\ln x-x$.
Donc: $$A_t=\[x\]_0^{x_1}+\[\ln x\-x]_{x_1}^{1}$$.
Soit: $$A_t=x_1-0+(\ln 1-1)-(\ln{x_1}-x_1)$$.
Soit: $$A_t=x_1-1-\ln{x_1}+x_1$$.
Il est donc nécessaire de déterminer la valeur de $x_1$.
On a: $f(x_1)=1$. Et par là: ${1}/{x_1}-1=1$. Et donc: ${1}/{x_1}=2$. D'où: $x_1=0,5$.
Par conséquent: $$A_t=0,5-1-\ln{0,5}+0,5=-\ln{0,5}=-\ln{1}/{2}$$.
Soit: $A_t=\ln 2$.

En procédant de façon similaire, on obtient:
$$A_n=∫_{0}^{x_a} a dx+∫_{x_a}^{1} f(x)dx$$.
Soit: $$A_n=ax_a-1-\ln{x_a}+x_a$$.
Il est donc nécessaire de déterminer la valeur de $x_a$.
On a: $f(x_a)=a$. Et par là: ${1}/{x_a}-1=a$. Et donc: ${1}/{x_a}=a+1$. D'où: $x_a={1}/{a+1}$.
Par conséquent: $$A_n=a{1}/{a+1}-1-\ln{{1}/{a+1}}+{1}/{a+1}={a-a-1+1}/{a+1}-\ln{{1}/{a+1}}=-\ln{{1}/{a+1}}$$.
Soit: $A_n=\ln (a+1)$.

Tu peux cliquer ICI pour revoir le cours sur la fonction ln.
On résout donc: $\ln 2=2\ln (a+1)$.
On obtient immédiatement: $\ln (a+1)={1}/{2}\ln 2$
Soit: $\ln (a+1)=\ln √{2}$
Et par là: $a=√{2}-1≈0,414$.