La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Dérivation

Un conseil: revoir le cours sur la dérivation de la classe de première!

I Dérivées et sens de variation

a. Composées

Composée

Soit $u$ une fonction définie sur un ensemble A.
Soit $v$ une fonction définie sur un ensemble B.
On suppose de plus que, pour tout $x$ de A, $u(x)$ appartient à B.

La composée de $u$ par $v$, notée $v o u$, est la fonction, définie sur l'ensemble A telle que:

pour tout $x$ de A, $v o u(x)=v(u(x))$

Retenir le schéma suivant: composée

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On pose: $u(x)=x^2+3$, définie sur $\ℝ$.
On pose: $v(x)=√{x-2}$, définie sur $[2;+∞[$
Etudions l'existence de la composée $v o u$.
On note que, pour tout $x$ de $\ℝ$, $u(x)$ appartient à $[2;+∞[$ (car le minimum de $u$ est clairement 3).
Donc $v o u$ existe. Elle est définie sur $\ℝ$.
On considère alors $x$ dans $\ℝ$. Déterminer $v o u(x)$

Solution...
Corrigé

$v o u(x)=v(u(x))=√{u(x)-2}=√{x^2+3-2}=√{x^2+1}$

Réduire...
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On pose: $u(x)=x^2+3$, définie sur $\ℝ$.
On pose: $v(x)=√{x-2}$, définie sur $[2;+∞[$
Etudions l'existence de la composée $u o v$.
L'existence de $u o v$ ne pose pas de problème car, pour tout $x$ de $\ℝ$, $v(x)$ appartient évidemment à $\ℝ$.
Notons que $u o v$ est définie sur $[2;+∞[$.
On considère alors $x$ dans $[2;+\∞[$. Déterminer $u o v(x)$

Solution...
Corrigé

$u o v(x)=u(v(x))=(v(x))^2+3=(√{x-2})^2+3=x-2+3=x+1$
On notera que l'expression $(√{x-2})^2+3$ n'existe que si $x≥2$, alors que l'expression réduite $x+1$ existe pour tout $x$.
La fonction affine $f$, définie par $f(x)=x+1$, est définie sur $\ℝ$.
La fonction $u o v$ reste définie sur $[2;+∞[$.
Les fonctions $f$ et $u o v$ sont égales sur $[2;+∞[$.

Réduire...

Remarque
Par la suite, les ensembles A et B seront qualifiés de "convenables" lorsqu'ils assureront l'existence de la composée (ou de ses dérivées).


b. Calculs de dérivées

Propriété

Le tableau suivant donne les fonctions de référence, leurs dérivées, et les intervalles sur lesquels sont définies ces dérivées.

Fonctions et dérivées vues en première
fig1

Fonctions et dérivées vues en terminale
fig5


Opérations

Le tableau ci-contre donne les dérivées d'une somme, d'un produit et d'un quotient de fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un même intervalle I (Pour la dérivée du quotient, $v$ est supposée ne pas s'annuler sur I).

Cas particuliers:
Si $k$ une constante, alors la dérivée de $ku$ est $ku\,'$.
La dérivée de ${1}/{v}$ est ${-v\,'}/{v^2}$.

fig3

Propriété       Dérivée d'une composée

Si $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur des intervalles convenables,

alors la dérivée de la fonction $v o u$ est la fonction $u\,'×(v\,'ou)$

Cas particuliers

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle convenable,

alors la dérivée de la fonction $e^u$ est la fonction $u\,'e^u$

alors la dérivée de la fonction $√{u}$ est la fonction ${u\,'}/{2√{u}}$

alors la dérivée de la fonction $u^n$ (pour $n$ entier relatif non nul) est la fonction $nu\,'u^{n-1}$

alors la dérivée de la fonction $u(ax+b)$ (pour $a$ et $b$ réels) est la fonction $au\,'(ax+b)$.

alors la dérivée de la fonction $\ln u$ est la fonction ${u\,'}/{u}$
(cette dernière fonction est vue en terminale)

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Dériver

  • $f(x)=-{5}/{3}x^2-4x+1$,
  • $g(x)=3+{1}/{2x+1}$
  • $h(x)=(8x+1)√{x}$
  • $k(x)={10-x}/{2x}$
  • $m(x)=e^{-2x+1}+3\ln (x^2)$
  • $n(x)=2√{x^3}+(-2x+1)^3$
Solution...
Corrigé

Dérivons $f(x)=-{5}/{3}x^2-4x+1$
On pose $k=-{5}/{3}$, $u=x^2$ et $v=-4x+1$.
Donc $u\,'=2x$ et $v\,'=-4$.
Ici $f=ku+v$ et donc $f\,'=ku\,'+v\,'$.
Donc $f\,'(x)=-{5}/{3}2x+(-4)=-{10}/{3}x-4$.


Dérivons $g(x)=3+{1}/{2x+1}$
On pose $v=2x+1$. Donc $v\,'=2$.
Ici $g=3+{1}/{v}$ et donc $g\,'=0+{-v\,'}/{v^2}$.
Donc $g\,'(x)=-{2}/{(2x+1)^2}$.


Dérivons $h(x)=(8x+1)√{x}$
On pose $u=8x+1$ et $v=√{x}$.
Donc $u\,'=8$ et $v\,'={1}/{2√{x}}$.
Ici $h=uv$ et donc $h\,'=u\,'v+uv\,'$.
Donc $h\,'(x)=8√{x}+(8x+1){1}/{2√{x}}=8√{x}+(8x+1)/{2√{x}}$.


Dérivons $k(x)={10-x}/{2x}$
On pose $u=10-x$ et $v=2x$.
Donc $u\,'=-1$ et $v\,'=2$.
Ici $k={u}/{v}$ et donc $k\,'={u\,'v-uv\,'}/{v^2}$.
Donc $k\,'(x)={(-1)2x-(10-x)2}/{(2x)^2}={-2x-20+2x}/{4x^2}={-20}/{4x^2}=-{5}/{x^2}$.

Dérivons $m(x)=e^{-2x+1}+3\ln (x^2)$
On pose $u=-2x+1$. Donc $u\,'=-2$.
De même $w=x^2$. Donc $w\,'=2x$.
Ici $m=e^u+3\ln w$ et donc $m\,'=u\,'e^u+3{w\,'}/{w}$.
Donc $m\,'(x)=(-2)×e^{-2x+1}+3{2x}/{x^2}=-2e^{-2x+1}+{6}/{x}$.


Dérivons $n(x)=2√{x^3}+(-2x+1)^3$
On pose $u=x^3$. Donc $u\,'=3x^2$.
De même $w=-2x+1$. Donc $w\,'=-2$.
Ici $n=2√{u}+w^3$ et donc $n\,'=2{u\,'}/{2√{u}}+3w\,'w^2$.
Donc $n\,'(x)=2 ×{3x^2}/{2√{x^3}}+3 ×(-2) ×(-2x+1)^2={3x^2}/{√{x^3}}-6(-2x+1)^2$.


Réduire...
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Dériver (avec des fonctions vues en terminale)

  • $o(x)=(\cos x)^2+\sin x$
  • $p(x)=\cos (3x+5)$
  • $q(x)=x\ln x-x$
Solution...
Corrigé

Dérivons $o(x)=(\cos x)^2+\sin x$
On pose $u=\cos x$. Donc $u\,'=-\sin x$.
ici $o= u^2+\sin x$. Donc $o\,'=2u\,'u+\cos x$.
Donc $o\,'(x)=2×(-\sin x)×\cos x+\cos x=(1-2\sin x)\cos x$.


Dérivons $p(x)=\cos (3x+5)$
On pose $u(y)=\cos y$. Donc $u\,'(y)=-\sin y$.
ici $p(x)= u(3x+5)$. Donc $p\,'(x)=3×u\,'(3x+5)$.
Donc $p\,'(x)=3×(-\sin(3x+5))=-3\sin(3x+5)$.

Dérivons $q(x)=x\ln x-x$
On pose $u=x$. Donc $u\,'=1$.
De même $v=\ln x$. Donc $v\,'={1}/{x}$.
Ici $q=uv-x$ et donc $q\,'=u\,'v+uv\,'-1$.
Donc $q\,'(x)=1×\ln x+x×{1}/{x}-1=\ln x+1-1=\ln x$.

Réduire...

c. Sens de variation

Propriété

Soit I un intervalle.
$f\,'=0$ sur I si et seulement si $f$ est constante sur I.
$f\,'≥0$ sur I si et seulement si $f$ est croissante sur I.
$f\,'>0$ presque partout sur I si et seulement si $f$ est strictement croissante sur I.
$f\,'≤0$ sur I si et seulement si $f$ est décroissante sur I.
$f\,'<0$ presque partout sur I si et seulement si $f$ est strictement décroissante sur I.

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$f(x)=x^3+x^2-5x+3$ sur $\R$. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\R$.

Solution...
Corrigé

Il suffit de calculer $f\,'(x)$, de trouver son signe, et d'en déduire le sens de variation de $f$.
$f\,'(x)=3x^2+2x-5$.
$f\,'$ est un trinôme avec $a=3$, $b=2$ et $c=-5$.
$Δ=b^2-4ac=2^2-4×3×(-5)=64$.
$Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={-2-8}/{6}=-{5}/{3}$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={-2+8}/{6}=1$.
$a>0$. D'où le tableau suivant:

fig4
Réduire...

Savoir faire
A quoi peut servir la dérivée d'une fonction?
La valeur de la dérivée en un point permet d'y déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
Le signe de la dérivé permet de déterminer le sens de variation de la fonction.
Dériver une fonction permet de vérifier qu'elle est bien une primitive d'une autre fonction (voir cours sur les primitives).


II Convexité

Définition

Une fonction dérivable sur un intervalle I est convexe si et seulement si
sa courbe est entièrement située au dessus de chacune de ses tangentes.
Une fonction dérivable sur un intervalle I est concave si et seulement si
sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

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La tangente $t$ à $\C_f$ en 2 traverse $\C_f$.
Déterminer graphiquement la convexité de la fonction $f$ définie sur [-1;5].

Solution...
Corrigé

Il est évident que $f$ est concave sur [-1;2], et convexe sur [2;5].

Remarquons que la convexité n'a aucun rapport avec le sens de variation de $f$.

Réduire...
fig7

Propriété

Fonctions vues en première
La fonction $x^2$ est convexe sur $\R$.
La fonction $x^3$ (non tracée ci-contre) est convexe sur $[0;+∞[$, mais elle est concave sur $]-∞;0]$.
La fonction ${1}/{x}$ est convexe sur $]0;+∞[$, mais elle est concave sur $]-∞;0[$ .
La fonction $√x$ est concave sur $[0;+∞[$.
La fonction $e^x$ est convexe sur $\R$.

Fonction vue en terminale
La fonction $\ln x$ est concave sur $]0;+∞[$.

fig8

Propriété

Soit I un intervalle.

$f$ est convexe sur I si et seulement si $-f$ est concave sur I.

Milieu d'une corde

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle I.

$f$ est convexe sur I si et seulement si , pour tous $a$ et $b$ de I, $f({a+b}/{2})≤{f(a)+f(b)}/{2}$.

fig9
Exemple

Soit $f$ une fonction continue et concave sur $[0;10]$.
Montrer que $2×f(4,5)≥f(2)+f(7)$.

Solution...
Corrigé

La fonction $f$ étant concave sur $[0;10]$, son opposée $-f$ est donc convexe sur $[0;10]$.
Par conséquent , pour tous $a$ et $b$ de $[0;10]$, $-f({a+b}/{2})≤{-f(a)+(-f(b))}/{2}$.
En particulier pour $a=2$ et $b=7$.
On obtient alors: $-f({2+7}/{2})≤{-f(2)-f(7)}/{2}$.
Donc: $2×(-f(4,5))≤-f(2)-f(7)$.
Et donc: $2×f(4,5)≥f(2)+f(7)$.

Réduire...

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.

$f$ est convexe sur I si et seulement si $f\,'$ est croissante sur I.
$f$ est concave sur I si et seulement si $f\,'$ est décroissante sur I.

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable deux fois sur un intervalle $]a;b[$.

Si $f"≥0$ sur $]a;b[$, alors $f$ est convexe sur sur $]a;b[$.
Si $f"≤0$ sur $]a;b[$, alors $f$ est concave sur sur $]a;b[$.
Cette propriété est valable si $a=-∞$ ou $b=+∞$.

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Soit $f$ définie sur $\ℝ$ par $(fx)=x^3-1.5x^2$.
Etudier la convexité de la fonction $f$ .
Soit $t$ la tangente à $\C_f$ en 2. Donner la position de $t$ par rapport à $\C_f$ sur l'intervalle $[0,5;+∞[$.

Solution...
Corrigé

$f\,'(x)=3x^2-3x$.
$f"(x)=6x-3$.
$6x-3$ est une fonction affine qui s'annule pour $x=0,5$.

De plus, son coefficient directeur 6 est strictement positif.
D'où le tableau de signes de $f"$ ci-contre.

fig10

Par conséquent, $f$ est concave sur $]-∞;0,5]$ et convexe sur $[0,5;+∞[$.

Comme $f$ est convexe sur $[0,5;+∞[$, $\C_f$ y est au dessus de ses tangentes.
En particulier, comme 2 est dans l'intervalle $[0,5;+∞[$, et que $t$ la tangente à $\C_f$ en 2, on en déduit que $\C_f$ est au dessus de $t$ sur l'intervalle $[0,5;+∞[$.

Réduire...

Définition

Le point A est un point d'inflexion de la courbe $\C_f$ lorsque $\C_f$ y traverse sa tangente $t$.

fig11

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable deux fois sur un intervalle $]a;b[$.

Si $f"$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors le point $A(c;f(c))$ est un point d'inflexion de $\C_f$.

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Soit $f$ définie sur $\ℝ$ par $f(x)=x^3$.
Montrer que $\C_f$ admet un point d'inflexion en 0.

Solution...

$f\,'(x)=3x^2$.
$f"(x)=6x$.

$6x$ est une fonction linéaire qui s'annule pour $x=0$.
Son coefficient directeur 6 est strictement positif.
D'où le tableau de signes de $f"$ ci-contre.

fig12

$f"$ s'annule en $0$ en changeant de signe, par conséquent, $\C_f$ admet un point d'inflexion en $0$.

Réduire...

A quoi peut servir la convexité d'une fonction $f$?
La convexité permet de déterminer la position de $\C_f$ par rapport à ses tangentes.
Le changement de convexité permet de repérer les points d'inflexion de $\C_f$.

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