Dérivation
Un conseil: revoir le cours sur la dérivation de la classe de première!
I Dérivées et sens de variation
a. Composées
Composée
Soit $u$ une fonction définie sur un ensemble A.
Soit $v$ une fonction définie sur un ensemble B.
On suppose de plus que, pour tout $x$ de A, $u(x)$ appartient à B.
La composée de $u$ par $v$, notée $v o u$, est la fonction, définie sur l'ensemble A telle que:
pour tout $x$ de A, $v o u(x)=v(u(x))$
Retenir le schéma suivant: 
Exemple
On pose: $u(x)=x^2+3$, définie sur $\ℝ$.
On pose: $v(x)=√{x-2}$, définie sur $[2;+∞[$
Etudions l'existence de la composée $v o u$.
On note que, pour tout $x$ de $\ℝ$, $u(x)$ appartient à $[2;+∞[$ (car le minimum de $u$ est clairement 3).
Donc $v o u$ existe. Elle est définie sur $\ℝ$.
On considère alors $x$ dans $\ℝ$. Déterminer $v o u(x)$
Corrigé
$v o u(x)=v(u(x))=√{u(x)-2}=√{x^2+3-2}=√{x^2+1}$
Exemple
On pose: $u(x)=x^2+3$, définie sur $\ℝ$.
On pose: $v(x)=√{x-2}$, définie sur $[2;+∞[$
Etudions l'existence de la composée $u o v$.
L'existence de $u o v$ ne pose pas de problème car, pour tout $x$ de $\ℝ$, $v(x)$ appartient évidemment à $\ℝ$.
Notons que $u o v$ est définie sur $[2;+∞[$.
On considère alors $x$ dans $[2;+\∞[$. Déterminer $u o v(x)$
Corrigé
$u o v(x)=u(v(x))=(v(x))^2+3=(√{x-2})^2+3=x-2+3=x+1$
On notera que l'expression $(√{x-2})^2+3$ n'existe que si $x≥2$, alors que l'expression réduite $x+1$ existe pour tout $x$.
La fonction affine $f$, définie par $f(x)=x+1$, est définie sur $\ℝ$.
La fonction $u o v$ reste définie sur $[2;+∞[$.
Les fonctions $f$ et $u o v$ sont égales sur $[2;+∞[$.
Remarque
Par la suite, les ensembles A et B seront qualifiés de "convenables" lorsqu'ils assureront l'existence de la composée (ou de ses dérivées).
b. Calculs de dérivées
Propriété
Les tableaux suivants donnent les fonctions de référence, leurs dérivées, et les intervalles sur lesquels sont définies ces dérivées.
Fonctions et dérivées vues en première
Fonctions et dérivées vues en terminale
Opérations
Le tableau ci-contre donne les dérivées d'une somme, d'un produit et d'un quotient de fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un même intervalle I (Pour la dérivée du quotient, $v$ est supposée ne pas s'annuler sur I).
Cas particuliers:
Si $k$ une constante, alors la dérivée de $ku$ est $ku\,'$.
La dérivée de ${1}/{v}$ est ${-v\,'}/{v^2}$.
Propriété Dérivée d'une composée
Si $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur des intervalles convenables,
alors la dérivée de la fonction $v o u$ est la fonction $u\,'×(v\,'ou)$
Cas particuliers
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle convenable,
alors la dérivée de la fonction $e^u$ est la fonction $u\,'e^u$
alors la dérivée de la fonction $√{u}$ est la fonction ${u\,'}/{2√{u}}$
alors la dérivée de la fonction $u^n$ (pour $n$ entier relatif non nul) est la fonction $nu\,'u^{n-1}$
alors la dérivée de la fonction $u(ax+b)$ (pour $a$ et $b$ réels) est la fonction $au\,'(ax+b)$.
alors la dérivée de la fonction $\ln u$ est la fonction ${u\,'}/{u}$
(cette dernière fonction est vue en terminale)
Exemple
Dériver
- $f(x)=-{5}/{3}x^2-4x+1$,
- $g(x)=3+{1}/{2x+1}$
- $h(x)=(8x+1)√{x}$
- $k(x)={10-x}/{2x}$
- $m(x)=e^{-2x+1}+3(x^2+1)^4$
- $n(x)=2√{x^3}+(-2x+1)^3$
Corrigé
Dérivons $f(x)=-{5}/{3}x^2-4x+1$
On pose $k=-{5}/{3}$, $u=x^2$ et $v=-4x+1$.
Donc $u\,'=2x$ et $v\,'=-4$.
Ici $f=ku+v$ et donc $f\,'=ku\,'+v\,'$.
Donc $f\,'(x)=-{5}/{3}2x+(-4)=-{10}/{3}x-4$.
Dérivons $g(x)=3+{1}/{2x+1}$
On pose $v=2x+1$. Donc $v\,'=2$.
Ici $g=3+{1}/{v}$ et donc $g\,'=0+{-v\,'}/{v^2}$.
Donc $g\,'(x)=-{2}/{(2x+1)^2}$.
Dérivons $h(x)=(8x+1)√{x}$
On pose $u=8x+1$ et $v=√{x}$.
Donc $u\,'=8$ et $v\,'={1}/{2√{x}}$.
Ici $h=uv$ et donc $h\,'=u\,'v+uv\,'$.
Donc $h\,'(x)=8√{x}+(8x+1){1}/{2√{x}}=8√{x}+(8x+1)/{2√{x}}$.
Dérivons $k(x)={10-x}/{2x}$
On pose $u=10-x$ et $v=2x$.
Donc $u\,'=-1$ et $v\,'=2$.
Ici $k={u}/{v}$ et donc $k\,'={u\,'v-uv\,'}/{v^2}$.
Donc $k\,'(x)={(-1)2x-(10-x)2}/{(2x)^2}={-2x-20+2x}/{4x^2}={-20}/{4x^2}=-{5}/{x^2}$.
Dérivons $m(x)=e^{-2x+1}+3(x^2+1)^4$
On pose $u=-2x+1$. Donc $u\,'=-2$.
De même $w=x^2+1$. Donc $w\,'=2x$.
Ici $m=e^u+3 w^4$ et donc $m\,'=u\,'e^u+3×w\,'×4w^3$.
Donc $m\,'(x)=(-2)×e^{-2x+1}+3×2x×4(x^2+1)^3=-2e^{-2x+1}+24x(x^2+1)^3$.
Dérivons $n(x)=2√{x^3}+(-2x+1)^3$
On pose $u=x^3$. Donc $u\,'=3x^2$.
De même $w=-2x+1$. Donc $w\,'=-2$.
Ici $n=2√{u}+w^3$ et donc $n\,'=2{u\,'}/{2√{u}}+3w\,'w^2$.
Donc $n\,'(x)=2 ×{3x^2}/{2√{x^3}}+3 ×(-2) ×(-2x+1)^2={3x^2}/{√{x^3}}-6(-2x+1)^2$.
Exemple
Dériver (avec des fonctions vues en terminale)
- $o(x)=(\cos x)^2+\sin x$
- $p(x)=\cos (3x+5)$
- $q(x)=x\ln x-x+3\ln (x^2)$
Corrigé
Dérivons $o(x)=(\cos x)^2+\sin x$
On pose $u=\cos x$. Donc $u\,'=-\sin x$.
ici $o= u^2+\sin x$. Donc $o\,'=2u\,'u+\cos x$.
Donc $o\,'(x)=2×(-\sin x)×\cos x+\cos x=(1-2\sin x)\cos x$.
Dérivons $p(x)=\cos (3x+5)$
On pose $u(y)=\cos y$. Donc $u\,'(y)=-\sin y$.
ici $p(x)= u(3x+5)$. Donc $p\,'(x)=3×u\,'(3x+5)$.
Donc $p\,'(x)=3×(-\sin(3x+5))=-3\sin(3x+5)$.
Dérivons $q(x)=x\ln x-x+3\ln (x^2)$
On pose $u=x$. Donc $u\,'=1$.
De même $v=\ln x$. Donc $v\,'={1}/{x}$.
Et enfin: $w=x^2$. Donc $w\,'=2x$.
Ici $q=uv-x+3\ln w$ et donc $q\,'=u\,'v+uv\,'-1+3{w'}/{w}$.
Donc $q\,'(x)=1×\ln x+x×{1}/{x}-1+3{2x}/{x^2}=\ln x+1-1+3{2}/{x}=\ln x+{6}/{x}$.
c. Sens de variation
Propriété
Soit I un intervalle.
$f\,'=0$ sur I si et seulement si $f$ est constante sur I.
$f\,'≥0$ sur I si et seulement si $f$ est croissante sur I.
$f\,'>0$ presque partout sur I si et seulement si $f$ est strictement croissante sur I.
$f\,'≤0$ sur I si et seulement si $f$ est décroissante sur I.
$f\,'<0$ presque partout sur I si et seulement si $f$ est strictement décroissante sur I.
Exemple
$f(x)=x^3+x^2-5x+3$ sur $\R$. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\R$.
Solution...Corrigé
Il suffit de calculer $f\,'(x)$, de trouver son signe, et d'en déduire le sens de variation de $f$.
$f\,'(x)=3x^2+2x-5$.
$f\,'$ est un trinôme avec $a=3$, $b=2$ et $c=-5$.
$Δ=b^2-4ac=2^2-4×3×(-5)=64$.
$Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={-2-8}/{6}=-{5}/{3}$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={-2+8}/{6}=1$.
$a>0$. D'où le tableau suivant:
Savoir faire
A quoi peut servir la dérivée d'une fonction?
La valeur de la dérivée en un point permet d'y déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
Le signe de la dérivé permet de déterminer le sens de variation de la fonction.
Dériver une fonction permet de vérifier qu'elle est bien une primitive d'une autre fonction (voir cours sur les primitives).
II Convexité
Définition
Une fonction dérivable sur un intervalle I est convexe si et seulement si
sa courbe est entièrement située au dessus de chacune de ses tangentes.
Une fonction dérivable sur un intervalle I est concave si et seulement si
sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.
Exemple
La tangente $t$ à $\C_f$ en 2 traverse $\C_f$.
Déterminer graphiquement la convexité de la fonction $f$ définie sur [-1;5].
Corrigé
Il est évident que $f$ est concave sur [-1;2], et convexe sur [2;5].
Remarquons que la convexité n'a aucun rapport avec le sens de variation de $f$.
Propriété
Fonctions vues en première
La fonction $x^2$ est convexe sur $\R$.
La fonction $x^3$ est convexe sur $[0;+∞[$, mais elle est concave sur $]-∞;0]$.
La fonction ${1}/{x}$ est convexe sur $]0;+∞[$, mais elle est concave sur $]-∞;0[$ .
La fonction $√x$ est concave sur $[0;+∞[$.
La fonction $e^x$ est convexe sur $\R$.
Fonction vue en terminale
La fonction $\ln x$ est concave sur $]0;+∞[$.
Propriété
Soit I un intervalle.
$f$ est convexe sur I si et seulement si $-f$ est concave sur I.
Milieu d'une corde
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle I.
$f$ est convexe sur I si et seulement si , pour tous $a$ et $b$ de I, $f({a+b}/{2})≤{f(a)+f(b)}/{2}$.
Exemple
Soit $f$ une fonction continue et concave sur $[0;10]$.
Montrer que $2×f(4,5)≥f(2)+f(7)$.
Corrigé
La fonction $f$ étant concave sur $[0;10]$, son opposée $-f$ est donc convexe sur $[0;10]$.
Par conséquent , pour tous $a$ et $b$ de $[0;10]$, $-f({a+b}/{2})≤{-f(a)+(-f(b))}/{2}$.
En particulier pour $a=2$ et $b=7$.
On obtient alors: $-f({2+7}/{2})≤{-f(2)-f(7)}/{2}$.
Donc: $2×(-f(4,5))≤-f(2)-f(7)$.
Et donc: $2×f(4,5)≥f(2)+f(7)$.
Propriété
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.
$f$ est convexe sur I si et seulement si $f\,'$ est croissante sur I.
$f$ est concave sur I si et seulement si $f\,'$ est décroissante sur I.
Propriété
Soit $f$ une fonction dérivable deux fois sur un intervalle $]a;b[$.
Si $f"≥0$ sur $]a;b[$, alors $f$ est convexe sur sur $]a;b[$.
Si $f"≤0$ sur $]a;b[$, alors $f$ est concave sur sur $]a;b[$.
Cette propriété est valable si $a=-∞$ ou $b=+∞$.
Exemple
Soit $f$ définie sur $\ℝ$ par $(fx)=x^3-1.5x^2$.
Etudier la convexité de la fonction $f$ .
Soit $t$ la tangente à $\C_f$ en 2. Donner la position de $t$ par rapport à $\C_f$ sur l'intervalle $[0,5;+∞[$.
Corrigé
$f\,'(x)=3x^2-3x$.
$f"(x)=6x-3$.
$6x-3$ est une fonction affine qui s'annule pour $x=0,5$.
De plus, son coefficient directeur 6 est strictement positif.
D'où le tableau de signes de $f"$ ci-contre.
Par conséquent, $f$ est concave sur $]-∞;0,5]$ et convexe sur $[0,5;+∞[$.
Comme $f$ est convexe sur $[0,5;+∞[$, $\C_f$ y est au dessus de ses tangentes.
En particulier, comme 2 est dans l'intervalle $[0,5;+∞[$, et que $t$ la tangente à $\C_f$ en 2, on en déduit que $\C_f$ est au dessus de $t$ sur l'intervalle $[0,5;+∞[$.
Définition
Le point A est un point d'inflexion de la courbe $\C_f$ lorsque $\C_f$ y traverse sa tangente $t$.
Propriété
Soit $f$ une fonction dérivable deux fois sur un intervalle $]a;b[$.
Si $f"$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors le point $A(c;f(c))$ est un point d'inflexion de $\C_f$.
Exemple
Soit $f$ définie sur $\ℝ$ par $f(x)=x^3$.
Montrer que $\C_f$ admet un point d'inflexion en 0.
$f\,'(x)=3x^2$.
$f"(x)=6x$.
$6x$ est une fonction linéaire qui s'annule pour $x=0$.
Son coefficient directeur 6 est strictement positif.
D'où le tableau de signes de $f"$ ci-contre.
$f"$ s'annule en $0$ en changeant de signe, par conséquent, $\C_f$ admet un point d'inflexion en $0$.
A quoi peut servir la convexité d'une fonction $f$?
La convexité permet de déterminer la position de $\C_f$ par rapport à ses tangentes.
Le changement de convexité permet de repérer les points d'inflexion de $\C_f$.