La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Loi binomiale

A SAVOIR: le cours sur la binomiale

Exercice 2

Partie A
Les 9 lettres du mot EXERCICES sont mises dans une urne.
On tire au hasard 3 lettres de l'urne, successivement mais avec remise.
On compte le nombre de voyelles obtenues.

  1. Cette situation est-elle modélisée par un schéma de Bernoulli?
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré.
  3. Soit A:" aucune voyelle n'est piochée"
    Soit B:" exactement une voyelle a été piochée"
    Soit C:" on a pioché plus de voyelles que de consonnes"
    Déterminer les probabilités de ces 3 événements.

Partie B
Répondre aux mêmes questions que celles de la partie A dans le cas où les tirages sont sans remise.


Solution...
Corrigé

Partie A

  1. On répète 3 fois de manière indépendante une expérience à 2 issues:
    V: "la lettre est une voyelle"
    C:" la lettre est une consonne".
    On a $p(V)={4}/{9}$.
    Nous sommes donc en présence d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p={4}/{9}$
  2. Voici un arbre pondéré convenable.
    arbre pondéré
  3. $p(A)=p((C,C,C))=(1-p)^3={125}/{729}≈0,17$
    $p(B)=p((V,C,C))+p((C,V,C))+p((C,C,V))=3p(1-p)^2={100}/{243}≈0,41$
    $C=\ov{A∪B}$ et A et B sont incompatibles.
    Donc $p(C)=1-(p(A)+p(B))={304}/{729}≈0,42$

Partie B

  1. On répète 3 fois une expérience à 2 issues:
    V: "la lettre est une voyelle"
    C:" la lettre est une consonne".
    Mais les tirages ne sont plus indépendants.
    Nous ne sommes donc pas en présence d'un schéma de Bernoulli.
  2. Voici un arbre pondéré convenable.
    arbre pondéré
  3. $p(A)=p((C,C,C))={5}/{9} ×{4}/{8} ×{3}/{7}={5}/{42}≈0,12$
    $p(B)=p((V,C,C))+p((C,V,C))+p((C,C,V))={4}/{9} ×{5}/{8} ×{4}/{7}+{5}/{9} ×{4}/{8} ×{4}/{7}+{5}/{9} ×{4}/{8} ×{4}/{7}={10}/{21}≈0,48$
    $C=\ov{A∪B}$ et A et B sont incompatibles.
    Donc $p(C)=1-(p(A)+p(B))={17}/{42}≈0,40$
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