La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

Un conseil: revoir le cours sur les probabilités conditionnelles de la classe de première!

I Succession d'épreuves indépendantes

Définition et propriété

$n$ épreuves successives sont indépendantes lorsque le résultat de l'une n'influe pas sur le résultat de l'autre.

Propriété

On considère une succession de $n$ épreuves indépendantes.
Pour toute liste $(A_1, A_2,...,A_n)$ d'événements concernant les $n$ épreuves successives, on a:
$p(A_1∩A_2∩...∩A_n)=p(A_1)×p(A_2)×...×p(A_n)$

Une telle succession peut se représenter par un arbre de probabilité.

Exemple

On jette un dé, puis on tire un jeton d'un sac contenant les jetons R, V , B et J, puis on jette une pièce.
Soit G: "le résultat du dé vaut au moins 5"
Soit R: "le jeton est R"
Soit F: "la pièce est tombée sur Face"
Soit P: "la pièce est tombée sur Pile"
Modéliser l'expérience.
Nous sommes en présence de 3 épreuves indépendantes.
On a: $p(G)={2}/{6}={1}/{3}$ et $p(R)={1}/{4}$ et $p(F)={1}/{2}$
Représentation par un arbre de probabilité.
arbre pondéré
On a alors, par exemple: $p(G∩R∩F)=p(G)×p(R)×p(F)={1}/{3}×{1}/{4}×{1}/{2}={1}/{24}$


II Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Définition

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience ayant 2 issues, appelées "succés" et "échec" telle que la probabilité de "succés" vaut $p$.

La loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire X qui code le résultat d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ de la façon suivante:
$p(X=1)=p(« succès »)=p$         $p(X=0)=p(« échec »)=1-p$

Exemple

On lance une pièce. Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 si on a obtenu Pile, et 0 si on a obtenu Face.
Si on appelle succès l'obtention de Pile, et échec l'obtention de Face, alors nous sommes en présence d'une épreuve de Bernoulli, et X suit la loi de Bernoulli.
On a ici:      $p(X=1)=p(\text"obtenir Pile")=0,5$         $p(X=0)=p(\text"obtenir Face")=1-0,5=0,5$


Définitions

Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est l'expérience constituant à répéter $n$ fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

Un schéma de Bernoulli se représente à l'aide d'un arbre pondéré
où les noeuds ont chacun 2 branches
et où les mêmes probabilités $p$ et $1-p$ sont répétées sur les couples de branches.

Définition

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces $n$ épreuves est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
On la note: $B (n,p)$.

Exemple

Une usine fabrique des composants électriques.
On prélève au hasard 3 composants dans la production de la journée.
On suppose que les prélèvements sont indépendants l'un de l'autre, et que la probabilité qu'un composant soit conforme au cahier des charges est égale à 0,84.

  1. Représenter l'expérience par un arbre pondéré.
  2. Enumérer tous les cas possibles dans un produit cartésien..
  3. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de composants conformes parmi les 3.
    Que dire de X?
  4. Quelle est la probabilité que le premier composant soit conforme, mais pas les 2 suivants?
  5. Quelle est la probabilité que le second composant soit conforme, mais pas les 2 autres?
Solution...
Corrigé

  1. arbre pondéré: fig1
  2. Les 8 issues possibles sont: $\{(A,A,A),(A,A,A↖{-}),(A,A↖{-},A),(A,A↖{-},A↖{-}),(A↖{-},A,A),(A↖{-},A,A↖{-}),(A↖{-},A↖{-},A),(A↖{-},A↖{-},A↖{-})\}$
  3. Chacun des prélèvements constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0,84$ et dont le succès est A.
    Les 3 prélèvements sont indépendants, et X compte le nombre de succès.
    Par conséquent X est une binomiale de paramètres 3 et 0,84.
    Soit: $X=B (\,3\,;\,0,84\,)$
  4. On cherche: $p((A,A↖{-},A↖{-}))=p(A)×p(A↖{-})×p(A↖{-})=0,84×0,16×0,16=0,021504$
  5. On cherche: $p((A↖{-},A,A↖{-})==p(A↖{-})×p(A)×p(A↖{-})=0,16×0,84×0,16=0,021504$
    On retrouve le résultat précédent.
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Si besoin, clique ICI pour revoir le cours sur les combinaisons.

Propriété

Soit $n∈\ℕ^{*}$ et $k∈\ℕ$ avec $0≤ k≤ n$.
Le nombre de chemins réalisant $k$ succès pour $n$ répétitions sur l'arbre d'un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est égal à $(\table n; k)$
C'est le nombre de combinaisons de $k$ objets parmi $n$; on l'appelle aussi coefficient binomial $(\table n; k)$
On rappelle que, par convention: $(\table 0; 0)=1$

On obtient directement les coefficients binomiaux avec les calculatrices:
Casio: OPTN PROB n nCr k
TI: MATH PRB n Combinaison k

Exemple

On reprend l'exemple précédent.
Dénombrer le nombre d'événements donnant exactement 1 composant conforme.
Citer les tous.

Solution...
Corrigé

On cherche le nombre de chemins réalisant $1$ succès pour $3$ répétitions sur l'arbre précédent.
Il est égal à $(\table 3; 1)=3$
Il s'agit de $(A,A↖{-},A↖{-})$, $(A↖{-},A,A↖{-})$ et $(A↖{-},A↖{-},A)$.

Réduire...

Expression de la loi binomiale

Si $X=B (n,p)$, et $0≤ k≤ n$, alors $p(X=k)=(\table n; k)\,p^k(1-p)^{n-k}$ .

En pratique, on obtient directement les valeurs de $p(X=k)$ avec les calculatrices:
Casio: STAT DIST BinomialPD($k,n,p$)
TI: 2nd distrib binomFdp($n,p,k$)

De même pour les valeurs de $p(X≤k)$:
Casio: STAT DIST BinomialCD($k,n,p$)
TI: 2nd distrib binomFrép($n,p,k$)

Exemple

On reprend encore l'exemple précédent.

  1. Donner la formule donnant la probabilité qu'exactement 2 composants soient acceptés, puis déterminer la valeur de cette probabilité (arrondie à 0,0001 près).
  2. Déterminer la probabilité (arrondie à 0,0001 près) qu'au moins 1 composant soit accepté.
Solution...
Corrigé

  1. On cherche $p(X=2)$. On a: $p(X=2)=(\table 3; 2)\,0,84^2(1-0,84)^{3-2}=3×0,84^2×0,16≈0,3387$.
    A la calculatrice, on peut obtenir directement: $p(X=2)≈0,3387$.

  2. On cherche $p(X≥1)$.
    Or $p(X≥1)=1-p(X\text"<"1)=1-p(X=0)$.
    Et à la calculatrice, on obtient: $p(X=0)≈0,0041$.
    Donc $p(X≥1)≈0,9959$.
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