La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Combinatoire et dénombrement

A SAVOIR: le cours sur Combinatoire et dénombrement

Exercice 2

Soit E un ensemble à $n$ éléments (avec $n$ entier non nul).

  • logo de maths-bac Combien y a-t-il de couples (A,B) de parties de E tels que $A∪B=E$ et $A∩B=∅$ ?
  • On suppose que A est une partie à $p$ éléments de E.
    logo de maths-bac Combien y a-t-il de parties B de E tels que $A∪B=E$ ?

Solution...
Corrigé
  • Un couple (A,B) est convenable si et seulement si B est le complémentaire de A dans E.
    Donc un couple est convenable si et seulement si il est du type $(A,\ov {A})$.
    fig4
    Il y a donc autant de couples $(A,\ov {A})$ que de parties A de E.
    Et, comme E est un ensemble à $n$ éléments, il y en a $2^n$.

  • Une partie B est convenable si et seulement si $B=\ov {A}∪C$, où C est une partie de A.
    fig5
    Il y a donc autant de parties B convenables que de parties C de A.
    Et, comme A est un ensemble à $p$ éléments, il y en a $2^p$.
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