La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Combinatoire et dénombrement

A SAVOIR: le cours sur Combinatoire et dénombrement

Exercice 3

  • Simplifier l'écriture de ${99!}/{96!}-941093$
  • Dénombrer les anagrammes du mot MATHS.
  • logo de maths-bacCombien y a-t-il de nombres de 10 chiffres tous différents alternant chiffres pairs et impairs?
    Notons que les nombres 1234567890 et 2345678901 sont convenables, mais pas le nombre 0123456789 qui n'a en fait que 9 chiffres (il s'écrit 123456789).

Solution...
Corrigé
  • ${99!}/{96!}-941093={99×98×97×96!}/{96!}-941093=99×98×97-941093=1$

  • Un anagramme correspond à une permutation des lettres d'un mot.
    Comme MATHS a 5 lettres toutes différentes, on calcule donc: $5!=120$
    Le mot MATHS possède donc $120$ anagrammes.

  • Il y a 4 possibilités paires et 5 possibilités impaires pour le premier chiffre (qui ne peut être nul).
    Supposons que le premier chiffre soit pair. Cela donne 4 possibilités (car il ne peut être nul).
    On répartit alors les 4 autres chiffres pairs sur leurs emplacements (de rangs 3, 5, 7 et 9). Cela donne $4!$ permutations possibles.
    On répartit les 5 chiffres impairs sur leurs emplacements (de rangs 2, 4, 6, 8 et 10). Cela donne $5!$ permutations possibles.
    On calcule alors: $4×4!×5!=11520$
    Il y a 11520 nombres convenables dont le premier chiffre est pair.
    Comptons de même les nombres convenables dont le premier chiffre est impair.
    Supposons donc que le premier chiffre soit impair. Cela donne 5 possibilités.
    On répartit alors les 4 autres chiffres impairs sur leurs emplacements (de rangs 3, 5, 7 et 9). Cela donne $4!$ permutations possibles.
    On répartit les 5 chiffres pairs sur leurs emplacements (de rangs 2, 4, 6, 8 et 10). Cela donne $5!$ permutations possibles.
    On calcule alors: $5×4!×5!=5!×5!=14400$
    Il y a 14400 nombres convenables dont le premier chiffre est impair.
    On utilise alors le principe additif.
    On somme: $11520+14400=25920$
    Il y a donc 25920 nombres de 10 chiffres tous différents alternant chiffres pairs et impairs.
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