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L'essentiel pour le bac

Combinatoire et dénombrement

A SAVOIR: le cours sur Combinatoire et dénombrement

Exercice 4

  • Dénombrer le nombre de tiercés possibles avec 15 chevaux au départ de la course.
  • On tire 3 boules successivement et sans remise d'une urne contenant 7 boules numérotées de 1 à 7.
    Combien y a-t-il de tirages possibles?
    Combien y a-t-il de tirages dont le produit des numéros vaut 30?
  • Dénombrer les anagrammes du mot MAMIE.
  • logo de maths-bacDénombrer les anagrammes du mot MICHEL commençant et finissant par un consonne.

Solution...
Corrigé
  • Un tiercé est ici un arrangement sans répétition de 3 éléments parmi 15 (les numéros des 3 premiers).
    On calcule donc: $\A_{15}^3={15!}/{12!}=15×14×13=2730$
    Il y a $2730$ tiercés possibles.

  • Un tirage est un arrangement sans répétition de 3 éléments parmi 7 (les numéros des 3 boules).
    On calcule donc: $\A_{7}^3={7!}/{4!}=7×6×5=210$
    Il y a $210$ tirages possibles.
    Dénombrons maintenant les tirages dont le produit des numéros vaut 30.
    On a: $30=1×2×3×5$.
    On veut un produit de 3 nombres entre 1 et 7.
    Les seules possibilités sont: $30=1×6×5$ et $30=2×3×5$
    Donc un tirage favorable correspond à une permutation des numéros 1, 6 et 5 ou 2, 3 et 5.
    On calcule donc: $3!+3!=12$
    Il y a $12$ tirages dont le produit des numéros vaut 30.

  • MAMIE a 5 lettres dont 2 identiques.
    Le rang des lettres A, I et E correspond à un arrangement sans répétition de 3 éléments parmi 5 (par exemple, pour MAMIE, cet arrangement est (2,4,5)).
    Une fois ces 3 lettres placées, les deux M vont dans les places restantes.
    On dénombre donc le nombre d'arrangements sans répétition de 3 éléments parmi 5.
    On calcule donc: $\A_5^3={5!}/{2!}=5×4×3=60$
    Le mot MAMIE possède donc $60$ anagrammes.

  • Le placement des deux consonnes de début et de fin (choisies parmi parmi les quatre possibles) est un arrangement sans répétition de 2 éléments parmi 4.
    On calcule donc: $\A_{4}^2={4!}/{2!}=4×3=12$
    Il y a donc 12 choix possibles pour les consonnes extérieures.
    Une fois ces 2 lettres placées, les 4 autres lettres vont dans les places restantes.
    On dénombre alors le nombre de permutations de 4 éléments.
    On calcule donc: $4!=24$
    Et finalement, on calcule: $12×24=288$
    Le mot MICHEL possède donc $288$ anagrammes commençant et finissant par un consonne.
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