Corrigé

• Le premier chiffre est strictement supérieur à 0, les 3 autres sont quelconques.
  On calcule donc: $9×10×10×10=9000$
  Il y a $9000$ nombres quatre chiffres, le premier étant non nul.
  On aura noté que ce sont les nombres de 1000 à 9999 (et que $9999-1000+1=9000$)


• Les 4 chiffres (distincts) correspondent à un arrangement sans répétition de 4 éléments parmi 8 (les chiffres de 2 à 9).
  On calcule donc: $\A_{8}^4={8!}/{4!}=8×7×6×5=1680$
  Il y a $1680$ nombres de quatre chiffres distincts tous strictement supérieurs à 1.


• Il y a 9 possibilités pour le premier chiffre (non nul).
  Les 3 autres chiffres (distincts entre eux et du premier) correspondent à un arrangement sans répétition de 3 éléments parmi 9.
  On calcule donc: $\A_{9}^3={9!}/{6!}=9×8×7=504$
  On calcule ensuite: $9×504=4536$
  Il y a $4536$ nombres de quatre chiffres distincts, le premier étant non nul.


• Si un nombre a 4 chiffres, le premier étant non nul, alors:
  soit les 4 chiffres sont distincts,
  soit il a au moins 2 chiffres semblables.
  On calcule donc: $9000-4536=4464$ (voir ci-dessus)
  Il y a $4464$ nombres de quatre chiffres avec au moins 2 chiffres semblables, le premier étant non nul.